ILOCZYN WEKTOROWY WEKTORÓW
Mnożenie wektorowe wektorów jest to operacja, której wynikiem jest nowy wektor.
Iloczyn wektorowy pary
wektorów \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v}\) oznaczamy: \( \vec{u} \times \vec{v} \)
Definicja (iloczyn wektorowy wektorów)
Niech \( \vec{u} , \vec{v}\) będą niewspółliniowymi wektorami w \(R^3\)
Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v}\) nazywamy wektor \(\vec{w}\) który spełnia trzy warunki:
1. Jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v}\)
2. Jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wektorach \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v}\) i równa się
\[ |\vec{u}|\cdot |\vec{u}|\cdot\sin \varphi \]
gdzie \(\varphi\) jest kątem między wektorami \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v}\)
3. Orientacja trójki wektorów \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v} \; \text{i} \; \vec{w}\) jest zgodna z orientacją układu współrzędnych \(Oxyz\)
Twierdzenie (wzór do obliczania iloczynu wektorowego)
Niech \( \vec{u}=[x_1,\,y_1,\,z_1] ,\, \vec{v}=[x_2,\,y_2,\,z_2]\) będą wektorami w \(R^3\)
Wtedy:
\[\vec{u}\times \vec{v}=\begin{vmatrix}
\mathbf{\vec{i}} & \mathbf{\vec{j}} & \mathbf{\vec{k}} \\
x_1& y_1 & z_1 \\
x_2& y_2 & z_2
\end{vmatrix}\]
Powyższy wyznacznik można obliczyć za pomocą reguły Sarrusa:
\[\displaystyle \vec{u} \times \vec{v} =y_{1}z_{2}\mathbf{\vec{i}} +z_{1}x_{2}\mathbf{\vec{j}} +x_{1}y_{2}\mathbf{\vec{k}} -z_{1}y_{2}\mathbf{\vec{i}} -x_{1}z_{2}\mathbf{\vec{j}} -y_{1}x_{2}\mathbf{\vec{k}}=\]
co możemy zapisać:
\[\displaystyle = (y_{1}z_{2}-z_{1}y_{2})\mathbf{\vec{i}} +(z_{1}x_{2}-x_{1}z_{2})\mathbf{\vec{j}} +(x_{1}y_{2}-y_{1}x_{2})\mathbf{\vec{k}}\]
lub wyznacznik możemy rozwiązać kożystajać z rozwinięcia Laplace’a
\[\displaystyle \vec{u} \times \vec{v} ={\begin{vmatrix}y_{1}& z_{1}\\y_{2}& z_{2}\end{vmatrix}}\mathbf{\vec{i}} -{\begin{vmatrix}x_{1}& z_{1}\\x_{2}& z_{2}\end{vmatrix}}\mathbf{\vec{j}} +{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\mathbf{\vec{k}} \]
Iloczyn wektorowy wersorów osi
Iloczyn wektorowy wersorów osi daje nam wersor prostopadły do obu wersorów wejściowych. Istotna jest kolejność mnożenia, gdyż jej zmiana zmienia zwrot otrzymanego wektora na przeciwny:
\[\vec{i}\times \vec{j}=\vec{k} \quad \quad \quad \vec{j}\times \vec{i}=-\vec{k}\]
\[\vec{k}\times \vec{i}=\vec{j} \quad \quad \quad \vec{i}\times \vec{k}=-\vec{j}\]
\[\vec{j}\times \vec{k}=\vec{i} \quad \quad \quad \vec{k}\times \vec{j}=-\vec{i}\]
Iloczyn wektorowy dwóch identycznych wersorów daje
wektor zerowy \(\vec{0}\), ponieważ kąt między nimi wynosi \(0^\circ\), a \(\sin 0^\circ = 0\):
\[\vec{i}\times \vec{i}=\vec{0} \quad \quad \vec{j}\times \vec{j}=\vec{0} \quad \quad \vec{k}\times \vec{k}=\vec{0}\]
Wyniki iloczynu wektorowego dla wersorów \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) można odczytać z poniższej tabeli. **Pierwszy czynnik mnożenia wybieramy z wiersza, a drugi z kolumny** (\(\text{wiersz} \times \text{kolumna}\)):
| \(\times\) |
\(\vec{i}\) |
\(\vec{j}\) |
\(\vec{k}\) |
| \(\vec{i}\) |
\(\vec{0}\) |
\(\vec{k}\) |
\(-\vec{j}\) |
| \(\vec{j}\) |
\(-\vec{k}\) |
\(\vec{0}\) |
\(\vec{i}\) |
| \(\vec{k}\) |
\(\vec{j}\) |
\(-\vec{i}\) |
\(\vec{0}\) |
Wskazówka: Łatwo zapamiętać dodatnie iloczyny, poruszając się po cyklu: \(\vec{i} \to \vec{j} \to \vec{k} \to \vec{i}\). Mnożenie zgodnie z kierunkiem strzałek daje wynik dodatni (np. \(\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}\)), a w przeciwnym – ujemny (np. \(\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}\)).
Własności (iloczynu skalarnego)
1. \(\vec{u} \times \vec{v}=-(\vec{v} \times \vec{u})\)
2. \((\alpha \vec{u}) \times \vec{v}=\alpha (\vec{u} \times \vec{v})\)
3. \((\vec{u} + \vec{v})\times \vec{w} =\vec{u} \times \vec{w}+\vec{v} \times \vec{w}\)
4. \(\vec{u}\times(\vec{v} + \vec{w}) =\vec{u} \times \vec{v}+\vec{u} \times \vec{w}\)
5. \( |\vec{u} \times \vec{v}|\leqslant |\vec{u}|\cdot |\vec{v}|\)
6. wektory \( \vec{u} \; \text{i} \; \vec{v}\) są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy
\(\vec{u} \times \vec{v}=\vec{0}\)
ILOCZYN WEKTOROWY WEKTORÓW - ZADANIA
Zadanie 1
Oblicz iloczyn wektorowy podanych wektorów: \(\vec{u}=[1,-2,0]\) oraz \(\vec{v}=[0,3,-2]\)
Rozwiązanie
Zadanie 2
Oblicz iloczyn wektorowy podanych wektorów: \(\vec{u}=3\mathbf{\vec{i}}+2\mathbf{\vec{j}}-\mathbf{\vec{k}}\) oraz \(\vec{v}=-4\mathbf{\vec{i}}+\mathbf{\vec{j}}+5\mathbf{\vec{k}}\)
Rozwiązanie
