WERSORY
Aby uzyskać wektor jednostkowy z danego wektora, należy ten wektor podzielić przez jego długość.
Przykład
Oblicz wektor jednostkowy dla wektora \(\vec{u}=[6,3]\)
Najpierw obliczamy długość wektora \(\vec{u}\) \[|\vec{u}|=\sqrt{6^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\] Teraz dzielimy współrzędne wektora \(\vec{u}\) przez jego długość, czyli \(\sqrt{45}\) \[|\vec{v}|=\left [\frac{6}{\sqrt{45}}, \frac{3}{\sqrt{45}}\right ]\] Wektor \(\vec{v}\) jest wersorem utwożonym z wektora \(\vec{u}\)
Sprawdzmy czy faktycznie wektor \(\vec{v}\) ma długoś jeden
Wektor \(\vec{u}\) i wektor jednostkowy \(\vec{v}\) utwożony z wektora \(\vec{u}\) mają ten sam kierunek i zwrot.
Oblicz wektor jednostkowy dla wektora \(\vec{u}=[6,3]\)
Najpierw obliczamy długość wektora \(\vec{u}\) \[|\vec{u}|=\sqrt{6^{2}+(3)^{2}}=\sqrt{36+9}=\sqrt{45}\] Teraz dzielimy współrzędne wektora \(\vec{u}\) przez jego długość, czyli \(\sqrt{45}\) \[|\vec{v}|=\left [\frac{6}{\sqrt{45}}, \frac{3}{\sqrt{45}}\right ]\] Wektor \(\vec{v}\) jest wersorem utwożonym z wektora \(\vec{u}\)
Sprawdzmy czy faktycznie wektor \(\vec{v}\) ma długoś jeden
\(\displaystyle |\vec{v}|=\sqrt{\left (\frac{6}{\sqrt{45}}\right )^{2}+\left (\frac{3}{\sqrt{45}}\right )^{2}}=\) \(\displaystyle \sqrt{\frac{36}{45}+\frac{9}{45}}=\sqrt{\frac{45}{45}}=1\)
Definicja (Wersor osi)
Wersorem osi - nazywamy wektor, którego długość jest równa \(1\), zaś kierunek i zwrot jest zgodny z pewną dodatnią półosią układu współrzędnych.
Oznaczenia wersorów
W literaturze stosuje się kilka równoważnych zapisów wektorów jednostkowych:
- Daszek (circumflex): \(\hat{u}\), \(\hat{v}\) – zastępuje tradycyjną strzałkę nad symbolem.
- Wersory osi (\(X, Y, Z\)): \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) lub \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\), a także \(\vec{e}_x, \vec{e}_y, \vec{e}_z\) (od niem. Einheitsvektor) oraz \(\hat{x}, \hat{y}, \hat{z}\).
- Zapis pogrubiony: \(\mathbf{u}\) lub \(\mathbf{e}\) – stosowany głównie w druku angielskojęzycznym.
(Wersor osi na płaszczyźnie)
Wersory osi na płaszczyźnie oznaczamy: \(\vec{i}\), \(\vec{j}\) mają one następujące współrzędne:\(\vec{i}=[1,0]\)
\(\vec{j}=[0,1]\)
(Wersor osi w przestrzeni)
Wersory osi w przestrzeni oznaczamy: \(\vec{i}\), \(\vec{j}\), \(\vec{k}\) mają one odpowiednio współrzędne:\(\vec{i}=[1,0,0]\)
\(\vec{j}=[0,1,0]\)
\(\vec{k}=[0,0,1]\)
