Definicja (współrzędne i składowe wektora)
Składowe wektora to wektory będące rzutami danego wektora na osie układu współrzędnych.
Współrzędne wektora to liczby (skalary) określające miarę tych rzutów.
SKŁADOWE WEKTORA
Współrzędne wektora i składowe wektora to dwa blisko powiązane pojęcia, ale o różnym znaczeniu matematycznym.
W praktyce potocznej często używa się tych określeń zamiennie.Rozkład wektora na współrzędne
Każdy wektor \(\vec{u}\) na płaszczyźnie możemy zapisać jako uporządkowaną parę liczb, które są równe miarom zorientowanym rzutów wektora na osie układu:
\[\large \vec{u} = [u_x, u_y] \] Gdzie:- \(u_x\) – to współrzędna na osi \(OX\) (liczba / skalar).
- \(u_y\) – to współrzędna na osi \(OY\) (liczba / skalar).
Rozkład wektora na składowe
Każdy wektor \(\vec{u}\) na płaszczyźnie możemy również zapisać jako sumę dwóch wektorów składowych, które są równoległe do osi układu współrzędnych:
\[\large \vec{u} = \vec{u}_x + \vec{u}_y \]Gdzie:
- \(\vec{u}_x\) – to składowa wektorowa na osi \(OX\) (wektor).
- \(\vec{u}_y\) – to składowa wektorowa na osi \(OY\) (wektor).
Związek matematyczny
Współrzędne i składowe łączą się ze sobą za pomocą wersorów, czyli wektorów jednostkowych osi (\(\vec{i}, \vec{j}\)):
\[\large \vec{u}_x = u_x\vec{i}\] \[\large \vec{u}_y = u_y\vec{j}\] Dzięki temu każdy wektor możemy zapisać na dwa sposoby:- Za pomocą współrzędnych: \[\large \vec{u} = [u_x, u_y]\]
- Za pomocą sumy składowych: \[\large \vec{u} = \vec{u}_x + \vec{u}_y = u_x\vec{i} + u_y\vec{j}\]
Zestawienie: Współrzędna a Składowa
| Cecha | Współrzędna | Składowa |
|---|---|---|
| Typ obiektu | Liczba (skalar) | Wektor |
| Zapis matematyczny | \(u_x, \,\, u_y\) | \(\vec{u}_x, \,\, \vec{u}_y\) |
| Przykład zapisu | \(u_x = 3, \,\, u_y = 4\) lub \([3,4]\) | \(\vec{u}_x = 3\vec{i}, \,\, \vec{u}_y = 4\vec{j}\) lub \(3\vec{i}+4\vec{j}\) |
| Interpretacja | Określa wartość i zwrot rzutu (jest współczynnikiem przy wersorze osi) | Jest wektorem leżącym na osi, powstałym z pomnożenia współrzędnej przez wersor |
Przykład
Dany jest wektor o współrzędnych \(\vec{u} = [4, -3]\). Wyznacz jego składowe wektorowe oraz zapisz go za pomocą wersorów osi \(\vec{i}\) i \(\vec{j}\).
1. Współrzędne wektora (liczby):
\(u_x = 4\), \(u_y = -3\)
2. Składowe wektora (wektory):
\(\vec{u}_x = 4\vec{i} = 4[1, 0] = [4,0]\)
\(\vec{u}_y = -3\vec{j} = -3[0, 1] = [0,-3]\)
3. Zapis wektora jako suma składowych:
\[\vec{u} = \vec{u}_x + \vec{u}_y = 4\vec{i} + (-3\vec{j}) = 4\vec{i} - 3\vec{j}\] 4. Sprawdzenie sumy wektorów składowych: \[\vec{u}_x + \vec{u}_y = [4, 0] + [0, -3] = [4+0, 0+(-3)] = [4, -3]\]
Dany jest wektor o współrzędnych \(\vec{u} = [4, -3]\). Wyznacz jego składowe wektorowe oraz zapisz go za pomocą wersorów osi \(\vec{i}\) i \(\vec{j}\).
1. Współrzędne wektora (liczby):
\(u_x = 4\), \(u_y = -3\)
2. Składowe wektora (wektory):
\(\vec{u}_x = 4\vec{i} = 4[1, 0] = [4,0]\)
\(\vec{u}_y = -3\vec{j} = -3[0, 1] = [0,-3]\)
3. Zapis wektora jako suma składowych:
\[\vec{u} = \vec{u}_x + \vec{u}_y = 4\vec{i} + (-3\vec{j}) = 4\vec{i} - 3\vec{j}\] 4. Sprawdzenie sumy wektorów składowych: \[\vec{u}_x + \vec{u}_y = [4, 0] + [0, -3] = [4+0, 0+(-3)] = [4, -3]\]
Definicja (Składowe wektora w przestrzeni 3D)
W przestrzeni trójwymiarowej wektor \(\vec{u} = [u_x, u_y, u_z]\) rozkładamy na trzy wektory składowe równoległe do osi \(OX\), \(OY\) i \(OZ\): \[\vec{u} = \vec{u}_x + \vec{u}_y + \vec{u}_z\] Używając wersorów osi \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\), zapis ten ma postać: \[\vec{u} = u_x \vec{i} + u_y \vec{j} + u_z \vec{k}\] gdzie składowe wyrażają się wzorami: \[\vec{u}_x = u_x\vec{i} = [u_x, 0, 0], \quad \vec{u}_y = u_y\vec{j} = [0, u_y, 0], \quad \vec{u}_z = u_z\vec{k} = [0, 0, u_z]\]
SKŁADOWE WEKTORA - ZADANIA
Zadanie 1
Dany jest wektor \(\vec{v} = [-5, 2]\) na płaszczyźnie. Wyznacz jego współrzędne, wektory składowe oraz zapisz go za pomocą wersorów osi \(\vec{i}\) i \(\vec{j}\).
Zadanie 2
Punkty początkowy i końcowy wektora \(\overrightarrow{AB}\) to odpowiednio \(A = (1, -4)\) oraz \(B = (5, 2)\). Oblicz współrzędne tego wektora oraz podaj jego składowe wektorowe.
Zadanie 3
Wektor \(\vec{w}\) w przestrzeni 3D określony jest wzorem \(\vec{w} = 3\vec{i} - \vec{j} + 4\vec{k}\). Podaj jego współrzędne oraz wyznacz wyłącznie jego składową wektorową na osi \(OZ\).