WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA NA PŁASZCZYŹNIE

(Współrzędne wektora na płaszczyźnie)

Niech punkt \(A=(x_A,y_A)\) będzie początkiem wektora z kolei punkt \(B=(x_B,y_B)\) końcem wektora \(\overrightarrow{AB}\)
Rzutując wektor \(\overrightarrow{AB}\) prostopadle na osie, otrzymamy dwa wektory, pierwszy na osi \(X\) drugi na osi \(Y\)

Każdemu takiemu wektorowi przyporządkowujemy liczbę, liczby te nazywamy współrzędnymi wektora i są określone wzorem:
Na osi \(X\) \(x_B-x_A\) którą nazywamy miara składowa wektora \(\overrightarrow{AB}\) na osi \(OX\)
Na osi \(Y\) \(y_B-y_A\) którą nazywamy miara składowa wektora \(\overrightarrow{AB}\) na osi \(OY\)

W naszym przykładzie wektor \(\overrightarrow{AB}\) ma współrzędne \[\overrightarrow{AB} = [x_B-x_A,\,y_B-y_A]\] Współrzędne wektora jak widać obliczamy odejmując od współrzędnych końca wektora, współrzędne początku.

Współrzędne wektora podaje się w nawiasach klamrowych aby odróżnić je od współrzędnych punktu.

Jeżeli przyjmiemy: \(\overrightarrow{AB} = \vec{u} \) , \(u_x=x_B-x_A\) , \(u_y=y_B-y_A\) wówczas współrzędne wektora są określone: \[\vec{u} = [u_x,\,u_y]\]

Jak widać możemy zastąpić wektor rozumiany jako uporządkowana para punktów, przez uporządkowaną parę liczb.

Przykład
Wyznacz współrzędne wektora \(\overrightarrow{AB}\) o początku w punkcie \(A=(-3,3)\) i końcu w punkcie \(B=(4,-3)\) \[\overrightarrow{AB} = \vec{u}= [4--3,\,-3-3]=[7,\,-6]\] wektora o początku w punkcie A=(-3,3) i końcu w punkcie B=(4,-3)

wektora o początku w punkcie A=(-3,3) i końcu w punkcie B=(4,-3)

Definicja (Współrzędne wektora w przestrzeni)

Niech punkt \(A=(x_A,y_A,z_A)\) będzie początkiem wektora z kolei punkt \(B=(x_B,y_B,z_B)\) końcem wektora w przestrzeni, to wektor \(\overrightarrow{AB}\) ma współrzędne określone wzorem: \[\overrightarrow{AB} = [x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A]\] Jeżeli przyjmiemy: \(\overrightarrow{AB} = \vec{u} \) , \(u_x=x_B-x_A\) , \(u_y=y_B-y_A\) , \(u_z=z_B-z_A\) wówczas: \[\vec{u} = [u_x,\,u_y,\,v_z]\]