DZIAŁANIA NA WIELOMIANACH

Definicja (Dodawanie wielomianów)

Sumą wielomianów \(P(x)\) oraz \(Q(x)\) jest wielomian \(W(x)\) gdzie:

\[W(x)=P(x)+Q(x)\] Dodawanie wielomianów polega na dodawaniu do siebie współczynników przy tych samych potęgach zmiennej \(x\).

Przykład:

Dodaj wielomiany:
\(P(x) = 5x^3+ 2x^2 + 3x - 4\)
oraz
\(Q(x) = x^2 - 2x + 5\)
niech
\(W(x)=P(x)+Q(x)\)

\[W(x)=(5x^3+2x^2 + 3x - 4) + (x^2 - 2x + 5) =\] \[5x^3 \color{Red}{+ 2x^2 } \color{Blue}{+3x } \color{Green}{ -4 }\color{Red}{ + x^2}\color{Blue}{- 2x}\color{Green}{ + 5}=\] \[5x^3+ 3x^2 + x + 1 \]

Odpowiedz:
\(W(x)=P(x)+Q(x)=5x^3+ 3x^2 + x + 1 \)

Definicja (Odejmowanie wielomianów)

Różnicą wielomianów \(P(x)\) oraz \(Q(x)\) jest wielomian \(W(x)\) gdzie:

\[W(x)=P(x)-Q(x)\] Odejmowanie wielomianów polega na odejmowaniu współczynników przy tych samych potęgach zmiennej \(x\).

Przykład:

Odejmij wielomiany:
\(P(x) = 2x^3 + 3x - 4\)
oraz
\(Q(x) =-7x^5+ x^3 - 2x + 5\)
niech
\(W(x)=P(x)-Q(x)\)

\[W(x)=(2x^3+3x-4) - (-7x^5+x^3-2x+5) =\] \[\color{Red}{2x^3} \color{Blue}{+ 3x} \color{Green}{- 4}+7x^5 \color{Red}{- x^3} \color{Blue}{+ 2x} \color{Green}{- 5} =\] \[7x^5+ x^3 + 5x - 9 \]

Odpowiedz:
\(W(x)=P(x)-Q(x)=7x^5+ x^3 + 5x - 9 \)

Definicja (Mnożenie wielomianów)

Iloczynem wielomianów \(P(x)\) oraz \(Q(x)\) jest wielomian \(W(x)\) gdzie:

\[W(x)=P(x)\cdot Q(x)\] Mnożenie wielomianów polega na mnożeniu każdego wyrazu jednego wielomianu przez każdy wyraz drugiego wielomianu i sumowaniu wyrazów podobnych.

Przykład:

Pomnóż wielomiany:
\(P(x) = x + 2\)
oraz
\(Q(x) = x^2 - x + 3\)
niech
\(W(x)=P(x)\cdot Q(x)\)

\[W(x)=(x+2)(x^2-x+3)=\] \[x(x^2-x+3)+2(x^2-x+3)=\] \[x^3\color{Red}{ - x^2 }\color{Blue}{+ 3x}\color{Red}{+ 2x^2} \color{Blue}{ - 2x }+ 6=\] \[x^3+x^2+x+6\]

Odpowiedz:
\(W(x)=P(x)\cdot Q(x)=x^3+x^2+x+6\)

Stopnie wielomianów

Dodawanie i odejmowanie: Stopień wyniku to największy stopień spośród wielomianów, chyba że wyraz o największym stopniu zostanie zredukowany do \(0\).

Przykład 1 (bez redukcji):
\(P(x) = 3x^4 + x^2\) (stopień \(4)\)
\(Q(x) = x^3 + 5x^2 + 7\) (stopień \(3)\)
\(P(x) + Q(x) = 3x^4 + x^3 + 6x^2 + 7\) (stopień \(4\)).

Przykład 2 (redukcja):
\(P(x) = x^3 + 2x^2\) (stopień \(3)\)
\(Q(x) = -x^3 + x\) (stopień \(3)\)
\(P(x) + Q(x) = 2x^2 + x\) (stopień \(2\)).

Mnożenie: Stopień wyniku to suma stopni mnożonych wielomianów.

Przykład 3:
\(P(x) = x^3 \) (stopień \(3)\)
\(Q(x) = x^2 + 3 \) (stopień \(2)\)
\(P(x) \cdot Q(x) = x^5 + 3x^3\) (stopień \(5\)).