Przykład 1:
Podziel wielomian:
\(W(x) = 2x^2 + 4x + 2\)
przez
\(P(x) = x + 1\)
1) Zapisujemy dzielenie i stawiamy na górze kreskę nad którą zapiszemy wynik tego dzielenia
\[
\begin{array}{r|l}
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
\end{array}
\]
2) Pierwszy wyraz od lewej \(2x^2\) dzielimy przez pierwszy wyraz dzielnika \(x\)
Czyli \(2x^2:x=2x\)
wynik zapisujemy nad kreską
\[
\begin{array}{r|l}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
\end{array}
\]
3) Wyliczone \(2x \) mnożymy przez dzielnik \(x+1\)
czyli \(2x\cdot(x+1)=2x^2+2x\)
otrzymany winik zapisujemy pod wielomianem zmieniają mu znaki na przeciwne
\[
\begin{array}{r|l}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
- 2x^2 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & \\
\end{array}
\]
4) Odzielamy kreską i sumujemy dwa wielomiany.
\[
\begin{array}{r|l}
2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
- 2x^2 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\
\hline
\quad =\,\,\,\,\,\,\,\,\, 2x + 2 \,\,\,\, \\
\end{array}
\]
5) Powtażamy procedurę z punktów 2, 3, 4 ale teraz dla nowego otrzymanego wielomianu \(2x+2\).
Dzielimy \(2x:x=2\) wynik \(2\) zapisujemy nad kreską.
\[
\begin{array}{r|l}
2x +2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \\
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
- 2x^2 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\
\hline
\quad 2x + 2 \,\,\,\, \\
\end{array}
\]
6) Wyliczone \(2\) mnożymy przez dzielnik \(x+1\)
czyli \(2\cdot(x+1)=2x+2\)
otrzymany winik zapisujemy pod wielomianem \(2x+2\) zmieniają mu znaki na przeciwne
\[
\begin{array}{r|l}
x + 2 & \\
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
- 2x^2 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\
\hline
\quad 2x + 2 \\
- 2x -2 & \\
\end{array}
\]
7) Odzielamy kreską i sumujemy dwa wielomiany.
\[
\begin{array}{r|l}
x + 2 & \\
\hline
(2x^2 + 4x + 2) & :(x + 1) \\
- 2x^2 - 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, &(+) \\
\hline
\quad 2x + 2 \\
- 2x -2 & (+)\\
\hline
\quad 0 & \\
\end{array}
\]
8) Koniec dzielenia, możemy teraz zapisać odpowiedź:
\[(2x^2 + 4x + 2)=(x + 1)\cdot(2x+2)\]
Przykład 2:
Podziel wielomian:
\(W(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 6\)
przez
\(P(x) = x -2\)
Dzielenie wielomianów wykonyjemy metodą pokazaną jak w przykładzie 1
\[
\begin{array}{r|l}
2x^2 + 7x+9\,\,\,\,\, & \\
\hline
(2x^3 + 3x^2 - 5x + 6) &: (x - 2) \\
- 2x^3 + 4x^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, &(+) \\
\hline
\quad \, 7x^2 - 5x + 6 & \\
- 7x^2 + 14x\,\,\,\,\,\,\, &(+) \\
\hline
\quad \, 9x + 6\,\,\, & \\
- 9x + 18 & (+)\\
\hline
\quad \, 24 & \\
\end{array}
\]
Wynik dzielenia otrzymaliśmy:
Iloraz:
\(Q(x) = 2x^2 + 7x + 9\)
Reszta:
\(R(x) = 24\)
Możemy zapisać:
\[(2x^3 + 3x^2 - 5x + 6)=(x -2)(2x^2 + 7x + 9)+24\]
