RÓWNOŚĆ WIELOMIANÓW

Definicja (Równość wielomianów

Dwa wielomiany \(P(x)\) i \(Q(x)\) są równe, jeśli mają:

1) Ten sam stopień
2) Te same współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej \(x\).

Aby sprawdzić, czy dane wielomiany są równe, należy najpierw wykonać działania algebraiczne, takie jak wymnożenie i redukcja wyrazów podobnych, a następnie sprowadzić je do uporządkowanej postaci, porządkując wyrazy według malejących potęg zmiennej.

Przykład 1:

Porównaj wielomiany:

\(P(x) = (x + 2)(x - 3)\)
oraz
\(Q(x) = x^2 - x - 6\)
\[P(x) = (x + 2)(x - 3) =\] \[x^2 - 3x + 2x - 6 =\] \[x^2 - x - 6\] Po uporządkowaniu widzimy, że oba wielomiany mają te same współczynniki przy każdej potędze \(x\):
\(a_1 = b_1 = 1\)
\(a_2 = b_2 = -1\)
\(a_0 = b_0 = -6\)

Wniosek: \(P(x) = Q(x)\).

Przykład 3:

Porównaj wielomiany:

\(P(x) = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) + 2(x - 1)\)
oraz
\(Q(x) = x^2 + 2x - 3\)
Rozwiązanie:
Najpierw przekształcamy \(P(x)\):
\[ P(x) = (x + \sqrt{2})(x - \sqrt{2}) + 2(x - 1). \] Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\):
\[ P(x) = x^2 - (\sqrt{2})^2 + 2(x - 1). \] \[ P(x) = x^2 - 2 + 2x - 2. \] Redukujemy wyrazy podobne:
\[ P(x) = x^2 + 2x - 4. \] Po uporządkowaniu widzimy, że wielomiany mają różne wyrazy wolne:
\(a_1 = b_1 = 1\)
\(a_2 = b_2 = 2\)
\(a_0 = -4 \neq b_0 = -3\)

Wniosek: \(P(x) \neq Q(x)\).