DZIELENIE WIELOMIANÓW - ZADANIA
Zadanie 1
Wykonaj dzielenie wielomianu \((2x^3 + 5x^2 + 5x + 24)\) przez \((x +3)\) sposobem pisemnym. (zadanie pokazanie jest krok po kroku)
Rozwiązanie
1)
Zapisujemy dzielenie i stawiamy na górze kreskę nad którą zapiszemy wynik tego dzielenia: \[ \begin{array}{r|l} \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \ \end{array} \]
Zapisujemy dzielenie i stawiamy na górze kreskę nad którą zapiszemy wynik tego dzielenia: \[ \begin{array}{r|l} \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \ \end{array} \]
2)
Dzielimy pierwszy wyraz dzielnej \(2x^3\) przez pierwszy wyraz dzielnika \(x \)
Czyli \(2x^3 : x = 2x^2\) Wynik zapisujemy nad kreską: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 \\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ \end{array} \]
Dzielimy pierwszy wyraz dzielnej \(2x^3\) przez pierwszy wyraz dzielnika \(x \)
Czyli \(2x^3 : x = 2x^2\) Wynik zapisujemy nad kreską: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 \\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ \end{array} \]
3)
Mnożymy wyliczone \(2x^2\) przez dzielnik \(x +3\):
\(2x^2 \cdot (x +3) = 2x^3 + 6x^2\)
Otrzymany wynik zapisujemy pod dzielną, zmieniając znaki na przeciwne: \[ \begin{array}{r|l} x^2 \\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & \\ \end{array} \]
Mnożymy wyliczone \(2x^2\) przez dzielnik \(x +3\):
\(2x^2 \cdot (x +3) = 2x^3 + 6x^2\)
Otrzymany wynik zapisujemy pod dzielną, zmieniając znaki na przeciwne: \[ \begin{array}{r|l} x^2 \\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & \\ \end{array} \]
4)
Oddzielamy kreską i sumujemy: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 \\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\, \\ \end{array} \]
Oddzielamy kreską i sumujemy: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 \\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\, \\ \end{array} \]
5)
Powtarzamy procedurę dla nowego wielomianu \((-x^2 +5x +24)\), dzielimy \(-x^2\) przez \(x\):
czyli: \(-x^2 : x = -x\)
nik zapisujemy nad kreską: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\, \\ \end{array} \]
Powtarzamy procedurę dla nowego wielomianu \((-x^2 +5x +24)\), dzielimy \(-x^2\) przez \(x\):
czyli: \(-x^2 : x = -x\)
nik zapisujemy nad kreską: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\, \\ \end{array} \]
6)
Mnożymy wyliczone \((-x)\) przez dzielnik \((x +3)\):
czyli: \((-x) \cdot (x +3) = -x^2 -3x\)
Otrzymany wynik \(( -x^2 -3x)\) zapisujemy pod \(- x^2 + 5x + 24\) zmieniając znaki na przeciwne: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \]
Mnożymy wyliczone \((-x)\) przez dzielnik \((x +3)\):
czyli: \((-x) \cdot (x +3) = -x^2 -3x\)
Otrzymany wynik \(( -x^2 -3x)\) zapisujemy pod \(- x^2 + 5x + 24\) zmieniając znaki na przeciwne: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \end{array} \]
7)
Oddzielamy kreską i sumujemy: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \,\,\, \\ \end{array} \]
Oddzielamy kreską i sumujemy: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \,\,\, \\ \end{array} \]
8)
Powtarzamy jeszcze raz procedurę dla nowego wielomianu \(8x + 24\), dzielimy \(8x\) przez \(x\)
czyli: \(8x : x = 8\)
Wynik zapisujemy nad kreską: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x+8\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \,\,\, \\ \end{array} \]
Powtarzamy jeszcze raz procedurę dla nowego wielomianu \(8x + 24\), dzielimy \(8x\) przez \(x\)
czyli: \(8x : x = 8\)
Wynik zapisujemy nad kreską: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x+8\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \,\,\, \\ \end{array} \]
9)
Mnożymy wyliczone \(8\) przez dzielnik \((x +3)\)
czeli: \(8 \cdot (x +3) = 8x +24\)
Otrzymany wynik zapisujemy pod \(8x +24\), zmieniając znaki na przeciwne: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x+8\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \,\,\, \\ -8x -24 \end{array} \]
Mnożymy wyliczone \(8\) przez dzielnik \((x +3)\)
czeli: \(8 \cdot (x +3) = 8x +24\)
Otrzymany wynik zapisujemy pod \(8x +24\), zmieniając znaki na przeciwne: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x+8\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \,\,\, \\ -8x -24 \end{array} \]
10)
Oddzielamy kreską i sumujemy: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x+8\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \, \\ -8x -24 \, & (+) \\ \hline \quad 0 \end{array} \] Koniec dzielenia.
Oddzielamy kreską i sumujemy: \[ \begin{array}{r|l} 2x^2 -x+8\\ \hline (2x^3 + 5x^2 + 5x + 24) & :(x +3) \\ -2x^3 - 6x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ & (+) \\ \hline \quad - x^2 +\, 5x +\, 24 \,\,\,\, \\ x^2 +\,3x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad 8x + 24 \, \\ -8x -24 \, & (+) \\ \hline \quad 0 \end{array} \] Koniec dzielenia.
Możemy zapisać odpowiedz:
\[\frac{2x^3 + 5x^2 + 5x + 24}{x +3} = 2x^2 - x + 8\]
Odpowiedź
Wynik dzielenia wynosi: \(2x^2 - x + 8\)