PIERWIASTKI WIELOKROTNE WIELOMIANU
Wyjaśnienie
Pierwiastek wielokrotny to taki pierwiastek, który występuje kilka razy w wielomianie. Jeśli wielomian \(W(x)\) można zapisać:
\[W(x) = (x-a)^k \cdot Q(x),\]
gdzie \(Q(a) \neq 0\), to \(a\) jest pierwiastkiem \(k\)-krotnym. • Dla \(k = 1\), pierwiastekiem jednokrotnym (prostym)• Dla \(k = 2\), pierwiastekiem dwukrotnym
• Dla \(k = 3\), pierwiastekiem trzykrotnym. itd
Przykład
Rozważmy wielomian: \(W(x) = x^3-3x+2\), pokażemy że liczba \(1\) jest pierwiastkiem dwukrotnym wielomianu \(W(x)\)
Jeżeli \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu, to \(W(1) = 0\) sprawdzmy
\[W(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 2 = 0\]
Czyli wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \((x-1)\)
Sprawdzamy teraz czy wielomian \(W(x)\) jest podzielny bez reszty przez \((x-1)^2\)
\((x-1)^2=(x^2-2x+1)\) zatem:
\[
\begin{array}{r|l}
x+ 2\ & \\
\hline
(x^3-3x+2) &: (x^2-2x+1) \\
- x^3 + 2x^2 -x\ & (+) \\
\hline
\quad \, 2x^2 - 4x +2 & \\
-2x^2 - 4x-2\ & (+) \\
\hline
\quad \, 0 & \\
\end{array}
\]
Wielomian \(W(x) = x^3-3x+2\) możemy teraz przedstawić w postaci iloczynowej \[W(x) = (x-1)^2(x+2)\] Zatem wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \((x-1)^2\) ale nie jest podzielny przez \((x-1)^3\) bo liczba 1 nie jest pierwiastkiem \((x+2)\)
• liczba \((1)\) — jest pierwiastkiem dwukrotnym,• liczba \((-2)\) — jest pierwiastekiem jednokrotny Dla scisłości z definicją podzielmy wielomian \(W(x)\) przez \((x-1)^3 \)
\((x-1)^3=(x^3-3x^2+3x-1)\)
\[
\begin{array}{r|l}
1\ & \\
\hline
(x^3-3x+2) &: (x^3-3x^2+3x-1) \\
- x^3 +3x^2 -3x+1\ & (+) \\
\hline
\quad \, 3x^2 - 6x +3 & \\
\end{array}
\]
Otrzymaliśmy resztę \(3x^2 - 6x +3\) zatem wielomian \(W(x)\) nie jest podzielny przez \((x-1)^3 \) i zgodnie z definicją liczba \(1\) jest pierwiastkiem dwukrotnym.
Twierdzenie (o pierwiastkach wielokrotnych wielomianów)
Liczba \(a\) jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu \(W(x)\), wtedy i tylko wtedy, gdy:
\[W(a) = W'(a)= ...= W^{(k-1)}(a)= 0\,\,\,\, \text{oraz}\,\,\,\,W^{(k)}(a)\neq 0 \]