Jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych
\[W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\]
ma pierwiastek wymierny, który można zapisać w postaci ułamka \( \displaystyle\frac{p}{q} \), to
\( p \) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \( a_0 \),
\( q \) jest dzielnikiem współczynnika przy najwyższej potędze \( a_n \).
\[W(x) = 2x^3 - 3x^2 - 2x + 3\]
Wyraz wolny: \(a_0 = 3\), jego całkowitymi dzielnikam są: \(\{-1,1,-3,3\}\)
Współczynnik przy najwyższej potędze: \(a_n = 2\), jego całkowitymi dzielnikam są: \(\{-1,1,-2,2\}\)
Możliwe wszystkie pierwiastki wymierne to dzielniki wyrazu wolnego \(a_0\) podzielone przez dzielniki współczynnika przy najwyższej potędze \(a_n\)
\[1, -1, \frac{1}{2},-\frac{1}{2}, 3, -3 ,\frac{3}{2},-\frac{3}{2} \]
Sprawdzamy kolejno te wartości, podstawiając je do \(W(x)\). Okazuje się, że:
\(W(1) = 0\), więc \(x = 1\) jest pierwiastkiem.
\(W\left(-\frac{3}{2}\right) = 0\), więc \(x = -\frac{3}{2}\) jest także pierwiastkiem.
Zatem jedynymi pierwiastkami wymiernymi są \(x = 1\) i \(x = -\frac{3}{2}\).
Można wywnioskować, że pozostały trzeci pierwiastek wielomianu \(W(x)\) jest liczbą niewymierną, albo \(x = 1\) i \(x = -\frac{3}{2}\) są jedynymi pierwiastkami tego wielomianu.
Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych umożliwia efektywne znalezienie wszystkich pierwiastków wymiernych wielomianu poprzez rozważenie ograniczonego zbioru liczb:
← wstecz Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych wielomianu ←