ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

Twierdzenie (o rozkładzie wielomianu na czynniki)

Każdy wielomian stopnia co najmniej trzeciego można rozłożyć na czynniki liniowe oraz czynniki kwadratoweh, które nie są rozkładalne.

Inaczej mówiąć można zapisać wielomian w postaci iloczynów czyników liniowych i kwadratowych (nierozkładalnych).

Uwagai

Liczba czynników liniowych zależy od liczby pierwiastków wielomianu, każdemu pierwiastkowi \(x=a\) odpowiada czynik liniowy \((x-a)\)

Czyniki kwadratowe \((ax^2+bx+c)\) nie są rozkładalne na na czyniki liniowe gdy \((\Delta \lt 0)\)

Poniżej omówione zostały trzy metody jaj rozłożyć wielomian na czyniki

Przykład 1: Rozkład przez szukanie pierwiastków i stosowanie twierdzenia Bézouta.

Rozłóżmy wielomian \(W(x) = x^3 - 3x^2 + x + 5\) na czynniki.

Szukamy pierwiastki całkowite za pomocą twierdzenia o pierwiastkach całkowitych.
Możliwe pierwiastki to dzielniki wyrazu wolnego (\(5\)).
\(W(1) = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 + 5 = 4 \quad \text{(nie pierwiastek)}\)
\(W(-1) = (-1)^3 - 3 \cdot (-1)^2 + (-1) + 5 = 0\)

Pierwiastek \(x = -1\) oznacza, że \(W(x)\) jest podzielny przez \((x+1)\).
Dzielimy wielomian pisemnie:

\[ \begin{array}{r|l} x^2 - 4x + 5\ & \\ \hline (x^3 - 3x^2 + x + 5) &: (x+1) \\ - x^3 - x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad -4x^2 + x+5 & \\ 4x^2 + 4x\,\,\,\,\,\,\, & (+) \\ \hline \quad \, 5x+5 & \\ - 5x-5 & (+) \\ \hline \quad \, 0 & \\ \end{array} \]

Otrzymaliśmy wynik dzielenia: \(W(x) = (x+1)(x^2 - 4x + 5)\)
Sprawdzamy, czy trójmian kwadratowy ma pierwiastki:
\(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 - 20 = -4\)

Delta jest ujemna, zatem trójmian nie ma pierwiastków rzeczywistych.
Ostateczna postać wielomianu po rozłożeniu to:
\[W(x) = (x+1)(x^2 - 4x + 5).\]

Przykład 2: Rozkład przy użyciu wzorów skróconego mnożenia

Rozłóżmy wielomian \(W(x) = x^4 - 6x^2 + 9\) na czynniki.

Rozpoznajemy wzór kwadratu różnicy: \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Zapisujemy:
\(W(x) = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 3 + 3^2 = (x^2 - 3)^2.\)

Rozkładamy \((x^2 - 3)\) na czynniki proste, wykorzystując wzór: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\):
\(W(x) = [(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})]^2.\)

Ostatecznie zapisujemy rozkład wielomianu na czynniki jako: \[W(x) = (x - \sqrt{3})^2(x + \sqrt{3})^2.\]

Przykład 3: Wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias

Rozłóżmy wielomian \(W(x) = x^3 - x^2 - 6x + 6\) na czynniki.

Zaczynamy od grupowania wyrazów, aby znaleźć wspólne czynniki w grupach:
\(W(x) = (x^3 - x^2) - (6x - 6).\)

Następnie wyłączamy wspólne czynniki z obu grup:
\(W(x) = x^2(x - 1) - 6(x - 1).\)

Teraz wyłączamy wspólny czynnik \((x - 1)\):
\(W(x) = (x - 1)(x^2 - 6).\)

Wielomian \(x^2 - 6\) można jeszcze rozłożyć, wykorzystując wzór: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\)
Wielomian po rozłożeniu to: \[W(x) = (x - 1)(x - \sqrt{6})(x + \sqrt{6}).\]