PIERWIASTEK WIELOMIANU, TWIERDZENIE BÉZOUTA

Definicja (pierwiastek wielomianu)

Pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) nazywamy liczbę \( a \), dla której: \[ W(a) = 0 \]

Oznacza to, że gdy w miejsce \( x \) podstawimy \( a \) wartość wielomianu wyniesie \( 0 \).

Przykład

Sprawdźmy która z liczb \(1,2,3\) jest pierwiastkiem wielomianu \( W(x) = x^2 - 5x + 6 \):

Podstawiamy \( x = 1 \):
\( W(1) = 1^2 - 5 \cdot 1 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 \).
Zatem \( x = 1 \) nie jest pierwiastkiem wielomianu.

Podstawiamy \( x = 2 \):
\( W(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 \).
Zatem \( x = 2 \) jest pierwiastkiem wielomianu.

Podstawiamy \( x = 3 \):
\( W(3) = 3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 \).
Zatem \( x = 3 \) również jest pierwiastkiem wielomianu.

Twierdzenie (Bezouta)

Liczba \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\) wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \((x-a)\)

Twierdzenie Bézouta łączy w sobie pojęcia pierwiastka wielomianu i jego podzielności przez dwumian.
Jeśli wielomian dzieli się przez dwumian \((x-a)\) bez reszty, to liczba a jest jego pierwiastkiem.

Przykład

Rozważmy wielomian: \(W(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\)

Podstawiamy \( x = 1 \): (sprawdzimy, czy liczba 1 jest pierwiastkiem)
\[W(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 11(1) - 6=1 - 6 + 11 - 6=0\] Wynik wynosi \(0\), zatem \(x = 1\) jest pierwiastkiem wielomianu \(W(x)\).
Oznacza to, że wielomian \(W(x)\) dzieli się bez reszty przez \(x-1\)
Dla sprawdzenia podzielmy teraz \(W(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6\) przez \((x-1)\)

\[ \begin{array}{r|l} x^2 - 5x + 6 & \\ \hline (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) &: (x - 1) \\ - (x^3 - x^2) & (+) \\ \hline \quad \, -5x^2 + 11x - 6 & \\ + (5x^2 - 5x) & (+) \\ \hline \quad \, 6x - 6 & \\ - (6x - 6) & (+) \\ \hline \quad \, 0 & \\ \end{array} \]

Zgodnie z twierdzeniem Bezouta reszta z dzielenia wynosi 0