W wyniku podzielenia wielomianu \( (a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0)\) przez dwumian liniowy \((x-p)\) otrzymujemy iloraz \(( b_{n-1}x^{n-1} + b_{n-2}x^{n-2} + \dots + b_1x + b_0)\) i resztę \((r)\) przy czym zachodzą następujące równości:
\[b_{n-1}=a_n\] \[b_{n-2}=a_{n-1}+p\cdot b_{n-1}\] \[.............\] \[b_1=a_2+p\cdot b_2\] \[b_0=a_1+p\cdot b_1\] \[r=a_0+p\cdot b_0\]Schemat Hornera jest szczególnie przejrzysty, gdy przedstawiony jest w formie tabeli.
Poniższa tabela opisuje dzielenie wielomianu trzeciego stopnia \(( \color{#cc0000} {a_3}x^3 + \color{#cc0000}{a_2}x^2 + \color{#cc0000}{a_1}x + \color{#cc0000}{a_0} )\) przez dwumian \( (x -\color{Green}p) \) w wyniku czego otrzymujemy iloraz \( (\color{Blue} {b_2}x^2 + \color{Blue}{b_1}x + \color{Blue}{b_0})\) i resztę \((r)\)
| \(a_3\) | \(a_2\) | \(a_1\) | \(a_0\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\color{Green} p\) | \(\color{Green}p\cdot \color{Blue}{b_2}\) | \(\color{Green}p\cdot \color{Blue}{b_1}\) | \(\color{Green}p\cdot \color{Blue}{b_0}\) | |
| \(\color{Blue} {b_2}=\color{#cc0000}{a_3}\) | \(\color{Blue} {b_1}=\color{#cc0000}{a_2}+\color{Green}p\cdot \color{Blue}{b_2}\) | \(\color{Blue} {b_0}=\color{#cc0000}{a_1}+\color{Green}p\cdot \color{Blue}{b_1}\) | \(r=a_0+\color{Green}p\cdot \color{Blue}{b_0}\) |
W poniższych tabelach dla lepszej przejrzystości dodano oznaczenia współczynników wielomianów.
Przykład 1
Stosując tabelkę Hornera dzielimy wielomian \(W(x)= \color{#cc0000} {3}x^3 \color{#cc0000}{-2}x^2 \color{#cc0000}{+5}x \color{#cc0000}{-1} \) przez dwumian \( (x -\color{Green}{2}) \)| \(a_3=3\) | \(a_2=-2\) | \(a_1=5\) | \(a_0=-1\) | |
| \(3\) | \(-2\) | \(5\) | \(-1\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\color{Green} 2\) | \(\color{Green}2\cdot \color{Blue}3\) | \(\color{Green}2\cdot \color{Blue}{4}\) | \(\color{Green}2\cdot \color{Blue}{13}\) | |
| \(\color{Blue} {3}\) | \(\color{Blue} {4}=\color{#cc0000}{-2}+\color{Green}2\cdot \color{Blue}3\) | \(\color{Blue} {13}=\color{#cc0000}5+\color{Green}2\cdot \color{Blue}{4}\) | \(25=\color{#cc0000}{-1}+\color{Green}2\cdot \color{Blue}{13}\) | |
| \(\color{Blue} {b_2=3}\) | \(\color{Blue} {b_1=4}\) | \(\color{Blue} {b_0=13}\) | \(r=25\) |
W wyniku tego dzielenia otrzymaliśmy iloraz: \( \color{Blue} {3}x^2 + \color{Blue}{4}x + \color{Blue}{13}\) oraz resztę \(r=25\)
Możemy zapisać: \[(\color{#cc0000} {3}x^3 \color{#cc0000}{-2}x^2 \color{#cc0000}{+5}x \color{#cc0000}{-1}) =(\color{Blue} {3}x^2 + \color{Blue}{4}x + \color{Blue}{13})\cdot (x -\color{Green}{2}) + 25\]
Przykład 2
Stosując tabelkę Hornera dzielimy wielomian \(W(x)= \color{#cc0000} {2}x^3 \color{#cc0000}{-13}x \color{#cc0000}{+15} \) przez dwumian \( (x +\color{Green}{3}) \)| \(a_3=2\) | \(a_2=0\) | \(a_1=-13\) | \(a_0=15\) | |
| \(2\) | \(0\) | \(-13\) | \(15\) | |
|---|---|---|---|---|
| \(\color{Green} {-3}\) | \(\color{Green}{-3}\cdot \color{Blue}2=-6\) | \(\color{Green}{-3}\cdot \color{Blue}{(-6)}=18\) | \(\color{Green}{-3}\cdot \color{Blue}{5}=-15\) | |
| \(\color{Blue} {2}\) | \(\color{Blue} {-6}=\color{#cc0000}{0}-6\) | \(\color{Blue} {5}=\color{#cc0000}{-13}+18\) | \(0=\color{#cc0000}{15}-15\) | |
| \(\color{Blue} {b_2=2}\) | \(\color{Blue} {b_1=-6}\) | \(\color{Blue} {b_0=5}\) | \(r=0\) |
W wyniku tego dzielenia otrzymaliśmy iloraz: \( \color{Blue} {2}x^2 \color{Blue}{-6}x \color{Blue}{+5}\) oraz resztę \(r=0\)
Możemy zapisać: \[(\color{#cc0000} {2}x^3 \color{#cc0000}{-13}x \color{#cc0000}{+15}) =(x +\color{Green}{3}) \cdot(\color{Blue} {2}x^2 \color{Blue}{-6}x \color{Blue}{+5} )\]
Schemat Hornera jest bardzo efektywnym narzędziem w algebraicznych obliczeniach i pozwala na szybkie wyliczenie ilorazu.
← wstecz Dzielenie wielomianów ←