Twierdzenie (o pierwiastkach całkowitych wielomianu)
Jeżeli wielomian o współczynnikach całkowitych \[W(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1x + a_0\] ma pierwiastek całkowity \((p\neq 0)\), to \(p\) jest dzielnikiem wyrazu wolnego \(a_0\).
TWIERDZENIE O PIERWIASTKACH CAŁKOWITYCH WIELOMIANU
Wyjaśnienie
Twierdzenie to oznacza, że aby znaleźć wszystkie możliwe pierwiastki całkowite wielomianu, wystarczy rozważyć dzielniki wyrazu wolnego.
Następnie każdy z tych dzielników można sprawdzić, podstawiając go do wielomianu i weryfikując, czy jego wartość wynosi \(0\).
Przykład:
Rozważmy wielomian o współczynnikach całkowitych :
\[W(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2\]
Wyraz wolny: \(a_0 = -2\)
Możliwe pierwiastki całkowite to dzielniki liczby \(-2\):\(\{1,-1,2, -2,\}\)
Sprawdzamy kolejno dzielniki, podstawiając je do \(W(x)\).
Okazuje się, że:
Pozostałe wartości nie spełniają równości \(W(x) = 0\).
Zatem jedynym pierwiastkiem całkowitym jest \(x = 2\).
Można wywnioskować, że pozostałe pierwiastki wielomianu \(W(x)\) są liczbami wymiernymi , niewymiernymi albo liczba \(2\) jest jedynym pierwiastkiem tego wielomianu.
Twierdzenie pozwala efektywnie znaleźć pierwiastki całkowite wielomianu poprzez rozważenie ograniczonego zbioru dzielników wyrazu wolnego.