RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA
Zadanie 1
Rozwiąż równanie: \( \displaystyle 3x^3 + 18x = -15x^2 \)
Rozwiązanie
Krok 1: Przenosimy wszystkie wyrazy na lewą stronę równania, tak aby po prawej stronie otrzymać zero. Pamiętamy o zmianie znaku przy przenoszeniu:\( \displaystyle 3x^3 + 15x^2 + 18x = 0 \)
Krok 2: Szukamy wspólnego czynnika, który możemy wyłączyć przed nawias. Zauważmy, że każda liczba jest podzielna przez \( \displaystyle 3 \), a każdy wyraz zawiera zmienną \( \displaystyle x \). Wyłączamy więc \( \displaystyle 3x \):
\( \displaystyle 3x(x^2 + 5x + 6) = 0 \)
\( \displaystyle 3x(x^2 + 5x + 6) = 0 \)
Krok 3: Korzystamy z własności iloczynu (iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero). Mamy zatem dwa przypadki:
1) \( \displaystyle 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \)
2) \( \displaystyle x^2 + 5x + 6 = 0 \)
1) \( \displaystyle 3x = 0 \quad \Rightarrow \quad x = 0 \)
2) \( \displaystyle x^2 + 5x + 6 = 0 \)
Krok 4: Rozwiązujemy równanie kwadratowe \( \displaystyle x^2 + 5x + 6 = 0 \). Obliczamy deltę (\( \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac \)):
\( \displaystyle \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 1 \)
Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:
\( \displaystyle x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( \displaystyle x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
\( \displaystyle \Delta = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 1 \)
Wyznaczamy pozostałe pierwiastki równania:
\( \displaystyle x_1 = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
\( \displaystyle x_2 = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \)
Odpowiedź
Równanie posiada trzy rozwiązania: \( \displaystyle x \in \{-3, -2, 0\} \).