Definicja (równanie wielomianowe)
Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: \[ W(x) = 0 \] gdzie \( W(x) \) jest wielomianem stopnia co najmniej pierwszego.
RÓWNANIA WIELOMIANOWE
Rozwiązywanie równania wielomianowego polega na znalezieniu wszystkich jego pierwiastków, czyli takich liczb, które po podstawieniu w miejsce \( x \) dają wartość zero.
Metody rozwiązywania równań
W zależności od postaci wielomianu, stosujemy różne techniki doprowadzania go do postaci iloczynowej: • Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias• Stosowanie wzorów skróconego mnożenia
• Grupowanie wyrazów
• Zastosowanie tw. o pierwiastkach całkowitych i tw. Bezouta
• Zastosowanie tw. o pierwiastkach wymiernych i tw. Bezouta
• Metoda pomocniczej niewiadomej
Przykład 1 (Grupowanie wyrazów)
Rozwiążmy równanie: \( x^3 + 2x^2 - 9x - 18 = 0 \)
Grupujemy po dwa wyrazy:
\( (x^3 + 2x^2) - (9x + 18) = 0 \)
Wyłączamy wspólne czynniki:
\( x^2(x + 2) - 9(x + 2) = 0 \)
Wyłączamy wspólny nawias:
\( (x + 2)(x^2 - 9) = 0 \)
Rozkładamy drugi nawias (wzór na różnicę kwadratów):
\( (x + 2)(x - 3)(x + 3) = 0 \)
Wyznaczamy pierwiastki:
\( x = -2 \quad \lor \quad x = 3 \quad \lor \quad x = -3 \)
Twierdzenie (o liczbie pierwiastków)
Równanie wielomianowe stopnia \( n \) (gdzie \( n \ge 1 \)) ma co najwyżej \( n \) pierwiastków rzeczywistych.
Na przykład równanie stopnia trzeciego (z \( x^3 \)) może mieć 1, 2 lub 3 rozwiązania, ale nigdy nie będzie ich miało więcej niż 3.
Przykład 2 (Podstawienie / Metoda pomocniczej niewiadomej)
Rozwiążmy równanie typu bikwadratowego: \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \)
Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \( t = x^2 \), przy założeniu \( t \ge 0 \):
\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)
Obliczamy deltę i pierwiastki dla zmiennej \( t \):
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
\( \sqrt{\Delta} = 3 \)
\( t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \quad \text{oraz} \quad t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)
Wracamy do zmiennej \( x \):
\( x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1 \)
\( x^2 = 4 \implies x = 2 \lor x = -2 \)
Zatem równanie ma cztery rozwiązania: \( \{-2, -1, 1, 2\} \).