RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA

Zadanie 18

Rozwiąż równanie: \( 2x^5 - 10x^3 + 8x = 0 \)

Rozwiązanie

Zauważamy, że każdy wyraz zawiera \( x \) oraz jest podzielny przez \( 2 \). Wyłączamy \( 2x \) przed nawias:
\( 2x(x^4 - 5x^2 + 4) = 0 \)

Mamy pierwszy pierwiastek równania:
\( 2x = 0 \implies x = 0 \)

Teraz zajmujemy się wnętrzem nawiasu: \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \). Jest to równanie dwukwadratowe. Stosujemy podstawienie \( t = x^2 \), gdzie \( t \ge 0 \):
\( t^2 - 5t + 4 = 0 \)

Obliczamy deltę dla zmiennej \( t \):
\( \Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
\( \sqrt{\Delta} = 3 \)

Wyznaczamy wartości \( t \):
\( t_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)
\( t_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)
Obie wartości są dodatnie, więc wracamy do zmiennej \( x \):
\( x^2 = 1 \implies x = 1 \lor x = -1 \)
\( x^2 = 4 \implies x = 2 \lor x = -2 \)

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są: \( x \in \{ -2, -1, 0, 1, 2 \} \).