RÓWNANIA WIELOMIANOWE - ZADANIA

Zadanie 17

Rozwiąż równanie: \( x^6 - 7x^3 - 8 = 0 \)

Rozwiązanie

Zauważamy, że stopień pierwszego wyrazu (\(6\)) jest dwukrotnością stopnia drugiego wyrazu (\(3\)). Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą \( t = x^3 \):
\( t^2 - 7t - 8 = 0 \)
W przypadku potęgi nieparzystej (\(x^3\)) nie musimy dawać założenia \( t \ge 0 \), ponieważ sześcian liczby może być ujemny.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe zmiennej \( t \). Obliczamy deltę:
\( \Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81 \)
\( \sqrt{\Delta} = 9 \)

Wyznaczamy wartości \( t_1 \) oraz \( t_2 \):
\( t_1 = \frac{7 - 9}{2} = -1 \)
\( t_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8 \)

Wracamy do podstawienia \( x^3 = t \), aby wyznaczyć wartości \( x \):
\( x^3 = -1 \implies x = \sqrt[3]{-1} = -1 \)
\( x^3 = 8 \implies x = \sqrt[3]{8} = 2 \)

Odpowiedź

Rozwiązaniami równania są liczby: \( x \in \{-1, 2\} \).