PODZBIORY - ZADANIA
Zadanie
Wykazać, na podstawie definicji zawierania zbiorów (implikacji \(x \in A \Rightarrow x \in B\)), że zbiór \(A = \langle 2, 5 \rangle\) zawiera się w zbiorze \(B = \langle 0, 7 \rangle\).
Rozwiązanie
Definicja mówi, że \(A \subset B\) wtedy i tylko wtedy, gdy implikacja \(x \in A \Rightarrow x \in B\) jest prawdziwa dla każdego \(x\).Sprawdzamy tę implikację dla różnych liczb z osi.
1. Najpierw bierzemy liczbę należącą do wnętrza zbioru \(A\), na przykład \(x = 3\):
\(3 \in A \text{ (Prawda)} \quad \text{oraz} \quad 3 \in B \text{ (Prawda)}\)
Badamy wartość logiczną implikacji (z prawdy wynika prawda):
\(\text{Prawda} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\)
\(3 \in A \text{ (Prawda)} \quad \text{oraz} \quad 3 \in B \text{ (Prawda)}\)
Badamy wartość logiczną implikacji (z prawdy wynika prawda):
\(\text{Prawda} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\)
2. Teraz sprawdzamy liczbę, która leży w zbiorze \(B\), ale znajduje się poza zbiorem \(A\), na przykład \(x = 1\):
\(1 \notin A \text{ (Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 1 \in B \text{ (Prawda)}\)
Badamy wartość logiczną implikacji (z fałszu wynika prawda):
\(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\)
\(1 \notin A \text{ (Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 1 \in B \text{ (Prawda)}\)
Badamy wartość logiczną implikacji (z fałszu wynika prawda):
\(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\)
3. Na koniec sprawdzamy liczbę, która nie należy do żadnego z tych zbiorów, na przykład \(x = 10\):
\(10 \notin A \text{ (Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 10 \notin B \text{ (Fałsz)}\)
Badamy wartość logiczną implikacji (z fałszu wynika fałsz):
\(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Fałsz} \equiv 1\)
\(10 \notin A \text{ (Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 10 \notin B \text{ (Fałsz)}\)
Badamy wartość logiczną implikacji (z fałszu wynika fałsz):
\(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Fałsz} \equiv 1\)
Wniosek:
Dla każdego elementu \(x\) implikacja jest prawdziwa. Jedynym przypadkiem, w którym implikacja byłaby fałszywa, jest sytuacja, gdybyśmy znaleźli element należący do \(A\), ale nienależący do \(B\) (Prawda \(\Rightarrow\) Fałsz). W tych przedziałach taki element nie istnieje.
Dla każdego elementu \(x\) implikacja jest prawdziwa. Jedynym przypadkiem, w którym implikacja byłaby fałszywa, jest sytuacja, gdybyśmy znaleźli element należący do \(A\), ale nienależący do \(B\) (Prawda \(\Rightarrow\) Fałsz). W tych przedziałach taki element nie istnieje.
Odpowiedź
Zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\) (\(A \subset B\)), ponieważ dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) warunek implikacji \(x \in \langle 2, 5 \rangle \Rightarrow x \in \langle 0, 7 \rangle\) zachodzi i jest prawdziwy.