PODZBIORY
Zawieranie się zbioru \(A\) w zbiorze \(B\) oznaczamy symbolem \(A\subset B\)
Definicja (Zawieranie się zbiorów)
Zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\) wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru \(A\) jest elementem zbioru \(B\)
Zapis symboliczny: \((A\subset B) \Leftrightarrow (dla\,\,każdego\,\,x\,:\,x \in A \Rightarrow x \in B)\)
Zbiór \(A\) nazywamy podzbiorem zbioru \(B\)
Zbiór \(B\) nazywamy nadzbiorem zbioru \(A\)
Zawieranie się zbiorów nazywamy też
inkluzją
Zapis \(A\subset B\) możemy czytać:
- Zbiór \(A\) zawiera się w zbiorze \(B\)
- Zbiór \(A\) jest podzbiorem zbioru \(B\)
- Zbiór \(A\) jest zawarty w zbiorze \(B\)
- Zbiór \(B\) zawiera zbiór \(A\)
Zawieranie się zbioru \(A\) w zbiorze \(B\) możemy również oznaczyć symbolem \(B\supset A\)
Ilustracja graficzna zawierania zbiorów \(A\subset B\)
Przykład
Jeżeli \(A=\{1,2\}\) i \(B=\{1,2,3,4\}\) to \(A\subset B\)
Czasami stosuje się określenia : podzbiór właściwy i podzbiór niewłaściwy.
Zbiór \(A\) nazywamy
podzbiorem właściwym zbioru \(B\) , gdy \(A\subset B\) oraz \(A\neq B\)
Zbiór \(A\) nazywamy
podzbiorem niewłaściwym zbioru \(B\) , gdy \(A\subset B\) oraz \(A=B\) zachodzi to w jednej sytuacji gdy cały zbiór jest swoim podzbiorem \(A\subset A\)
Do oznaczania
podzbiorów i nadzbiorów właściwych stosujemy oznaczenia \(\subset \,\,\,\,\supset\)
Do oznaczania
podzbiorów i nadzbiorów niewłaściwych stosujemy oznaczenia \(\subseteq \,\,\, \supseteq
\)
Jeżeli zbiór \(A\) nie zawiera się w zbiorze \(B\) , to piszemy \(A\not \subset B\) lub \(A\nsubseteq B\)
Własności (Zawierania się zbiorów)
Dla dowolnych zbiorów \(A,\,B,\,C\)
1. \(\emptyset \subset A\) Zbiór pusty jest podzbiorem dowolnego zbioru.
2. \(A \subset A\) Zbiór \(A\) jest podzbiorem samego siebie.
3. \((A\subset B)\wedge (B\subset C) \Rightarrow (A\subset C)\) Zawieranie się zbioru w zbiorze jest przechodnie
Różnica między zawieraniem się \(\subset\) a należeniem \(\in\) do zbioru
Należenie do zbioru \((\in)\) jest zależnością między elementami a zbiorem.
Zawieranie się zbiorów \((\subset)\) jest zależnością między zbiorem a zbiorem.
Przykład
\(2 \in \{1, 2, 3\}\) – Prawda, liczba 2 należy do zbioru
\(2 \subset \{1, 2, 3\}\) – Fałsz (liczba nie może się "zawierać", bo nie jest zbiorem)
\(\{2\} \subset \{1, 2, 3\}\) – Prawda, jeśli weźmiemy dwójkę i zamkniemy ją w nawiasy klamrowe, tworząc zbiór \(\{2\}\), to ten zbiór już się zawiera w \(\{1, 2, 3\}\)
\(\{1,2\} \subset \{1, 2, 3\}\) – Prawda
Zadanie 1
Wykazać, na podstawie definicji zawierania zbiorów (implikacji \(x \in A \Rightarrow x \in B\)), że zbiór \(A = \langle 2, 5 \rangle\) zawiera się w zbiorze \(B = \langle 0, 7 \rangle\).
Rozwiązanie
Zadanie 2
Wykazać, na podstawie definicji zawierania zbiorów (implikacji \(x \in A \Rightarrow x \in B\)), że zbiór \(A = \langle 1, 6 \rangle\) nie zawiera się w zbiorze \(B = \langle 3, 8 \rangle\).
Rozwiązanie
