PODZBIORY - ZADANIA
Zadanie
Wykazać, na podstawie definicji zawierania zbiorów (implikacji \(x \in A \Rightarrow x \in B\)), że zbiór \(A = \langle 1, 6 \rangle\) nie zawiera się w zbiorze \(B = \langle 3, 8 \rangle\).
Rozwiązanie
Definicja zawierania zbiorów mówi, że aby zbiór \(A\) zawierał się w \(B\), implikacja \(x \in A \Rightarrow x \in B\) musi być prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Sprawdźmy, jak ta implikacja zachowuje się dla wybranych liczb:
1. Dla liczby \(x = 5\):
\(5 \in \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Prawda)} \quad \text{oraz} \quad 5 \in \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Prawda)}\)
Implikacja: \(\text{Prawda} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\) (prawdziwa).
\(5 \in \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Prawda)} \quad \text{oraz} \quad 5 \in \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Prawda)}\)
Implikacja: \(\text{Prawda} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\) (prawdziwa).
2. Dla liczby \(x = 7\):
\(7 \notin \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 7 \in \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Prawda)}\)
Implikacja: \(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\) (prawdziwa).
\(7 \notin \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 7 \in \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Prawda)}\)
Implikacja: \(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Prawda} \equiv 1\) (prawdziwa).
3. Dla liczby \(x = 0\):
\(0 \notin \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 0 \notin \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Fałsz)}\)
Implikacja: \(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Fałsz} \equiv 1\) (prawdziwa).
\(0 \notin \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Fałsz)} \quad \text{oraz} \quad 0 \notin \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Fałsz)}\)
Implikacja: \(\text{Fałsz} \Rightarrow \text{Fałsz} \equiv 1\) (prawdziwa).
4. Zbadajmo teraz liczbę \(x = 2\):
\(2 \in \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Prawda)} \quad \text{oraz} \quad 2 \notin \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Fałsz)}\)
Podstawiamy te wartości do naszej implikacji:
\(\text{Prawda} \Rightarrow \text{Fałsz} \equiv 0\)
Dla liczby \(x = 2\) implikacja okazała się fałszywa.
\(2 \in \langle 1, 6 \rangle \quad \text{(Prawda)} \quad \text{oraz} \quad 2 \notin \langle 3, 8 \rangle \quad \text{(Fałsz)}\)
Podstawiamy te wartości do naszej implikacji:
\(\text{Prawda} \Rightarrow \text{Fałsz} \equiv 0\)
Dla liczby \(x = 2\) implikacja okazała się fałszywa.
Formułujemy wniosek:
Ponieważ znaleźliśmy na osi liczbowej chociaż jeden element (\(x = 2\)), dla którego implikacja będąca warunkiem zawierania nie jest prawdziwa, zbiór \(A\) nie może zawierać się w zbiorze \(B\). Liczba \(2\) stanowi kontrprzykład obalający zawieranie się tych zbiorów.
Ponieważ znaleźliśmy na osi liczbowej chociaż jeden element (\(x = 2\)), dla którego implikacja będąca warunkiem zawierania nie jest prawdziwa, zbiór \(A\) nie może zawierać się w zbiorze \(B\). Liczba \(2\) stanowi kontrprzykład obalający zawieranie się tych zbiorów.
Odpowiedź
Zbiór \(A\) nie zawiera się w zbiorze \(B\) (\(A \not\subset B\)), co dowodzi istnienie liczby \(x = 2\), dla której implikacja \(x \in A \Rightarrow x \in B\) jest fałszywa.