Definicja (Zbiór potęgowy)
Zbiorem potęgowym danego zbioru \(X\) nazywamy zbiór wszystkich podzbiorów zbioru \(X\).
ZBIÓR POTĘGOWY
Zbiór potęgowy zbioru \(X\) oznaczamy symbolem \(\mathcal{P}(X)\), \(\mathcal{S}(X)\) lub \(2^X\).
Twierdzenie (Moc zbioru potęgowego)
Jeśli \(A\) jest zbiorem \(n\)-elementowym, to \(\mathcal{P}(A)\) ma dokładnie \(2^n\) elementów.
Ogólnie dla dowolnego zbioru \(A\) zachodzi: \(|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}\),
gdzie \(|\mathcal{P}(A)|\) i \(|A|\) oznaczają moc zbioru, odpowiednio, \(\mathcal{P}(A)\) i \(A\).
Przykład 1
Wyznaczmy zbiór potęgowy zbioru pustego \(\emptyset\), czyli \(\mathcal{P}(\emptyset)\).
Zgodnie ze wzorem zbiór potęgowy ma dokładnie \(2^{|\emptyset|}\) elementów.
Moc zbioru pustego wynosi zero (\(|\emptyset| = 0\)), zatem \(2^0 = 1\).
Ostatecznie zbiór potęgowy zbioru pustego ma dokładnie jeden element: \(\mathcal{P}(\emptyset) = \{\emptyset\}\).
Zbiór pusty jest podzbiorem zbioru pustego: \(\emptyset \subset \emptyset\).
Przykład 2
Wyznaczmy zbiór potęgowy zbioru \(A = \{a\}\), czyli \(\mathcal{P}(A)\).
Zgodnie ze wzorem zbiór potęgowy ma \(2^{|A|}\) elementów.
Zbiór \(A\) ma jeden element (\(|A| = 1\)), więc \(2^1 = 2\).
Zbiór potęgowy zbioru \(A\) zawiera dwa elementy: \(\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{a\}\}\).
Oczywiście zachodzi: \(\emptyset \subset \{a\}\) oraz \(\{a\} \subset \{a\}\).
Przykład 3
Wyznaczmy zbiór potęgowy zbioru \(B = \{a, b\}\), czyli \(\mathcal{P}(B)\).
Zbiór potęgowy ma \(2^{|B|}\) elementów.
Zbiór \(B\) ma dwa elementy (\(|B| = 2\)), więc \(2^2 = 4\).
Zatem \(\mathcal{P}(B) = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\}\).