ZBIORY - ZADANIA

Zadanie 4

Dane są dwa zbiory liczbowe: \(A = \{1, 2, 4, 6\}\) oraz \(B = \{2, 4, 5, 7, 8\}\), a także przestrzeń wszystkich rozważanych liczb \(U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\). Wyznacz:

a) sumę zbiorów \(A \cup B\)
b) iloczyn zbiorów \(A \cap B\)
c) różnice zbiorów \(A \setminus B\) oraz \(B \setminus A\)
d) dopełnienie zbioru \(A'\) w przestrzeni \(U\)
e) dopełnienie zbioru \(B'\) w przestrzeni \(U\)
f) dopełnienie zbioru \((A \cup B)'\) w przestrzeni \(U\)
g) dopełnienie zbioru \((A \cap B)'\) w przestrzeni \(U\)
h) dopełnienie zbioru \((A \setminus B)'\) w przestrzeni \(U\)
i) dopełnienie zbioru \((B \setminus A)'\) w przestrzeni \(U\)

Rozwiązanie

W przypadku zbiorów przedstawionych w postaci bezpośredniego wyliczenia elementów, działania wykonujemy poprzez precyzyjną analizę zawartości obu zbiorów i porównywanie ich składników. W zapisie końcowym dbamy o to, aby poszczególne liczby się nie powtarzały, a cały wynik końcowy porządkujemy rosnąco. Sytuację tę doskonale ilustruje poniższy diagram Venna:

a) Wyznaczamy sumę zbiorów \(A \cup B\):
Suma to zbiór elementów, które należą do zbioru \(A\) LUB do zbioru \(B\). Łączymy zawartość obu zbiorów w jedną wspólną całość (liczby, które występują jednocześnie w obu zbiorach, czyli \(2\) i \(4\), wymieniamy w nowym zbiorze tylko jeden raz):
\(A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8\}\)

b) Wyznaczamy iloczyn zbiorów \(A \cap B\):
Iloczyn (część wspólna) to zbiór elementów, które należą jednocześnie do zbioru \(A\) I do zbioru \(B\). Szukamy liczb, które powtarzają się w obu zbiorach:
Liczby, które znajdziemy zarówno w \(A\), jak i w \(B\), to \(2\) oraz \(4\).
\(A \cap B = \{2, 4\}\)

c) Wyznaczamy różnice zbiorów \(A \setminus B\) oraz \(B \setminus A\):
Różnica \(A \setminus B\) to elementy, które należą do \(A\), ale NIE należą do \(B\). Ze zbioru \(A\) usuwamy (wykreślamy) te liczby, które występują w \(B\) (czyli wyrzucamy dwójkę i czwórkę):
\(A \setminus B = \{1, 6\}\)

Różnica \(B \setminus A\) to elementy, które należą do \(B\), ale NIE należą do \(A\). Ze zbioru \(B\) wykreślamy elementy wspólne z \(A\) (również usuwamy \(2\) i \(4\)):
\(B \setminus A = \{5, 7, 8\}\)

d) Wyznaczamy dopełnienie zbioru \(A'\) w przestrzeni \(U\):
Dopełnienie zbioru to wszystkie elementy z naszej przestrzeni (uniwersum) \(U\), które NIE należą do zbioru \(A\). Matematycznie oznacza to działanie \(U \setminus A\).
Z pełnej listy liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) wykreślamy te, które były w \(A\) \(\{1, 2, 4, 6\}\):
\(A' = \{3, 5, 7, 8, 9\}\)

e) Wyznaczamy dopełnienie zbioru \(B'\) w przestrzeni \(U\):
Analogicznie jak w poprzednim punkcie, szukamy wszystkich elementów z przestrzeni \(U\), które NIE należą do zbioru \(B\) (wykonujemy działanie \(U \setminus B\)).
Z uniwersum usuwamy liczby należące do \(B\), czyli \(\{2, 4, 5, 7, 8\}\):
\(B' = \{1, 3, 6, 9\}\)

f) Wyznaczamy \((A \cup B)'\):
Wiemy już, że suma to \(A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8\}\). Aby znaleźć dopełnienie tej sumy, z przestrzeni \(U\) usuwamy wszystkie te elementy. Zostają nam tylko liczby, które nie należały do żadnego ze zbiorów:
\((A \cup B)' = \{3, 9\}\)
Wskazówka: Zgodnie z I prawem De Morgana wynik ten jest dokładnie taki sam, jak iloczyn osobnych dopełnień (\(A' \cap B'\)).

g) Wyznaczamy \((A \cap B)'\):
Częścią wspólną zbiorów był zbiór \(A \cap B = \{2, 4\}\). Jego dopełnienie to całe uniwersum \(U\) pozbawione dwójki i czwórki:
\((A \cap B)' = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
Wskazówka: Zgodnie z II prawem De Morgana wynik ten odpowiada sumie osobnych dopełnień (\(A' \cup B'\)).

h) Wyznaczamy \((A \setminus B)'\):
Wynikiem różnicy był zbiór \(A \setminus B = \{1, 6\}\). Szukamy dopełnienia, czyli z uniwersum \(U\) wyrzucamy jedynkę oraz szóstkę:
\((A \setminus B)' = \{2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}\)

i) Wyznaczamy \((B \setminus A)'\):
Różnica \(B \setminus A\) dała nam wynik \(\{5, 7, 8\}\). Wyznaczamy dopełnienie tego zbioru w przestrzeni \(U\) (usuwamy ze zbioru \(U\) liczby 5, 7 i 8):
\((B \setminus A)' = \{1, 2, 3, 4, 6, 9\}\)

Odpowiedź

Wynikami działań na podanych zbiorach są zbiory:
a) \(A \cup B = \{1, 2, 4, 5, 6, 7, 8\}\)
b) \(A \cap B = \{2, 4\}\)
c) \(A \setminus B = \{1, 6\}\), \(B \setminus A = \{5, 7, 8\}\)
d) \(A' = \{3, 5, 7, 8, 9\}\)
e) \(B' = \{1, 3, 6, 9\}\) f) \((A \cup B)' = \{3, 9\}\)
g) \((A \cap B)' = \{1, 3, 5, 6, 7, 8, 9\}\)
h) \((A \setminus B)' = \{2, 3, 4, 5, 7, 8, 9\}\)
i) \((B \setminus A)' = \{1, 2, 3, 4, 6, 9\}\)