CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI - ZADANIA
Zadanie 3
Oblicz całkę przez części \(\displaystyle\int x \ln x\,dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\int x\ln x\,dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f=\ln x \,\,\,\,\,\, g'= x \\
f'=? \,\,\,\,\,\, g=? \\
\end{vmatrix}=\)
podstawiamy \(f=\ln x\) oraz \(g'=x\)
następnie obliczamy \(f'=?\) i \(g= ?\)
pochodna wyrażenia \(f'=(\ln x)'=\frac1x\)
całka wyrażenia \(g=\int xdx=\frac{x^2}2\)
\(\displaystyle\int x\ln x\,dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f=\ln x \,\,\,\,\,\, g'=x \\
f'=\frac1x \,\,\,\,\,\, g= \frac{x^2}2 \\
\end{vmatrix}=\)
Teraz korzystamy ze wzoru
\( \displaystyle \int (f \cdot g')\, dx = f \cdot g - \int (f' \cdot g)\, dx \)
\(\displaystyle = \frac{x^2}2\ln x-\int \frac1x\cdot \frac{x^2}2\, dx=\)
\(\displaystyle \frac{x^2}2\ln x -\frac12\int x\, dx=\)
\(\displaystyle \frac{x^2}2\ln x - \frac12 \frac{x^2}2+c=\)
\(\displaystyle \frac{x^2}2\ln x - \frac{x^2}4+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int x\ln x\,dx=\frac{x^2}2\ln x - \frac{x^2}4+c\)
