CAŁKOWANIE PRZEZ CZĘŚCI - ZADANIA
Zadanie 5
Oblicz całkę przez części \(\displaystyle \int x^2 e^x\,dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle \int x^2 e^x\,dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f= x^2 \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, g'= e^x \\
f'=(x^2)'=2x \,\,\,\,\,\, g=\int e^x\,dx=e^x \\
\end{vmatrix}=\)
Stosujemy wzór
\( \displaystyle \int (f \cdot g')\, dx = f \cdot g - \int (f' \cdot g)\, dx \)
\(\displaystyle = x^2 e^x-\int 2xe^x\, dx=\)
Ponownie korzystamy ze wzoru na całkowanie przez części
\(\displaystyle x^2 e^x-2\int xe^x\,dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
f= x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, g'= e^x \\
f'=(x)'=1 \,\,\,\,\,\, g=e^x \\
\end{vmatrix}=\)
\(\displaystyle = x^2 e^x-2(xe^x-\int e^x\,dx)=\)
\(\displaystyle = x^2 e^x-2xe^x+ 2e^x+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle \int x^2 e^x\,dx=x^2 e^x-2xe^x+ 2e^x+c\)
