CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE - ZADANIA
Zadanie 3
Oblicz całkę przez podstawienie \(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+8}}dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+8}}dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
x^2+8=t \\
2xdx=dt \\
xdx=\frac{dt}2
\end{vmatrix}\)
Dokonujemy podstawienia \(x^2+8=t\).
Następnie równanie różniczkujemy stronami.
Pochodna \((x^2+8)'=2x\) a różniczka \(2xdx\)
Pochodna \((t)'=1\) a różniczka \(dt\)
\(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+8}}dx\)
Dokonujemy podstawienia za \(x^2+8=t\) oraz \(xdx=\frac{dt}2\)
\(\displaystyle\int \frac{1}{\sqrt{t}}\cdot\frac{dt}{2}\)
Przed całkę wyciągamy \(\frac12\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{dt}{\sqrt{t}}\)
\(\frac{1}{\sqrt{t}}=t^{-\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}\int t^{-\frac{1}{2}}dt\)
Korzystamy ze wzoru \(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac {t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac12+1}+c\)
Upraszczamy
\(\displaystyle\frac{1}{2}\cdot\frac {t^{\frac{1}{2}}}{\frac12}+c\)
Skracamy \(\frac12\)
\(\displaystyle t^{\frac{1}{2}}+c=\sqrt t+c=\)
Powracamy do naszego podstawienia \(x^2+8=t\)
\(\displaystyle \sqrt{x^2+8}+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{x^2+8}}dx=\sqrt{x^2+8}+c\)
