CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE - ZADANIA
Zadanie 4
Oblicz całkę \(\displaystyle\int e^{-2x^3}x^2dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\int e^{-2x^3}x^2 dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
-2x^3=t \\
-6x^2dx=dt \\
x^2dx=-\frac{dt}6
\end{vmatrix}\)
Podstawiamy \(-2x^3=t\).
Następnie równanie różniczkujemy stronami.
Pochodna \((-2x^3)'=-6x^2\) różniczka \(-6x^2dx\)
\(\displaystyle\int e^{-2x^3}x^2dx\)
Podstawiamy \(-2x^3=t\) oraz \(x^2dx=-\frac{dt}6\)
\(\displaystyle\int e^t \cdot-\frac{dt}{6}\)
Przed całkę wyciągamy \(-\frac16\)
\(\displaystyle-\frac{1}{6}\int e^t dt\)
Teraz korzystamy ze wzoru \(\int e^t dt=e^t+c\)
\(\displaystyle-\frac{1}{6} e^t+c\)
Powracamy do naszego podstawienia \(-2x^3=t\)
\(\displaystyle-\frac{1}{6} e^{-2x^3}+c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int e^{-2x^3}x^2dx=-\frac{1}{6} e^{-2x^3}+c\)
