CAŁKOWANIE PRZEZ PODSTAWIENIE - ZADANIA
Zadanie 5
Oblicz całkę \(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos^3x}dx\)
Rozwiązanie
\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos^3x}dx\,\,\,\,\begin{vmatrix}
\cos x=t \\
-\sin x\, dx=dt \\
\sin x \,dx=-dt
\end{vmatrix}\)
Dokonujemy pomocniczych obiczeń.
\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos^3x}dx=\)
Podstawiamy \(\cos x=t\) oraz \(\sin x\, dx=-dt\)
\(\displaystyle\int\frac{-dt}{t^3}=\)
\(\displaystyle-\int t^{-3}dt=\)
\(\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+c\)
\(\displaystyle-\frac{t^{-3+1}}{-3+1} +c=\)
\(\displaystyle-\frac{t^{-2}}{-2} +c=\)
\(\displaystyle \frac{1}{2t^{2}} +c=\)
Podstawiamy \(\cos x=t\)
\(\displaystyle \frac{1}{2\cos^{2}x} +c\)
Odpowiedź
\(\displaystyle\int\frac{\sin x}{\cos^3x}dx=\frac{1}{2\cos^{2}x} +c\)
