MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadanie 3
Wykaż, korzystając z definicji, że ciąg o wyrazie ogólnym \( a_n = 10 - 3n \) jest malejący.
Rozwiązanie
Zapisujemy wzór na wyraz ogólny oraz wyznaczamy wyraz następny \( a_{n+1} \):
\( a_n = 10 - 3n \)
Podstawiamy \( (n+1) \) w miejsce każdego \( n \) we wzorze:
\( a_{n+1} = 10 - 3(n + 1) = 10 - 3n - 3 = 7 - 3n \)
Obliczamy różnicę między wyrazem następnym a poprzednim (\( a_{n+1} - a_n \)):
\( a_{n+1} - a_n = (7 - 3n) - (10 - 3n) \)
\( a_{n+1} - a_n = 7 - 3n - 10 + 3n \)
Upraszczamy wyrażenie i sprawdzamy znak wyniku:
\( a_{n+1} - a_n = -3 \)
Otrzymana różnica jest liczbą stałą i ujemną: \( -3 \lt 0 \).
Powołujemy się na definicję ciągu malejącego:
Ciąg liczbowy jest malejący, jeżeli dla każdego \( n \in \mathbb{N}_+ \) zachodzi nierówność \( a_{n+1} - a_n \lt 0 \).
W naszym przypadku warunek ten jest spełniony, gdyż \( -3 \) jest zawsze mniejsze od zera.
Odpowiedź
Ciąg \( a_n = 10 - 3n \) jest malejący, ponieważ różnica \( a_{n+1} - a_n = -3 \) jest mniejsza od zera dla każdego \( n \).
