MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU - ZADANIA
Zadanie 4
Zbadaj monotoniczność ciągu o wyrazie ogólnym \( a_n = (-1)^n \).
Rozwiązanie
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu, aby zaobserwować jego zachowanie:
\( a_1 = (-1)^1 = -1 \)
\( a_2 = (-1)^2 = 1 \)
\( a_3 = (-1)^3 = -1 \)
Zauważamy, że wartości wyrazów zmieniają się naprzemiennie. Zbadajmy różnicę \( a_{n+1} - a_n \):
\( a_{n+1} - a_n = (-1)^{n+1} - (-1)^n \)
Sprawdźmy wartość tej różnicy dla konkretnych przykładów:
Dla \( n=1 \):
\( a_2 - a_1 = 1 - (-1) = 2 \) (wynik dodatni, ciąg rośnie)
Dla \( n=2 \):
\( a_3 - a_2 = -1 - 1 = -2 \) (wynik ujemny, ciąg maleje)
Wnioskowanie na podstawie definicji:
Aby ciąg był monotoniczny, różnica \( a_{n+1} - a_n \) musi mieć stały znak dla każdego \( n \in \mathbb{N}_+ \).
W tym przypadku różnica jest raz dodatnia, a raz ujemna, co oznacza, że ciąg nie jest ani rosnący, ani malejący.
Odpowiedź
Ciąg \( a_n = (-1)^n \) nie jest monotoniczny. Jest to ciąg naprzemienny, w którym warunek stałego znaku różnicy \( a_{n+1} - a_n \) nie jest spełniony.
