CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 3
Suma pięciu początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi \( \displaystyle 70 \). Wiedząc, że pierwszy wyraz \( \displaystyle a_1 = 2 \), oblicz różnicę \( \displaystyle r \) tego ciągu.
Rozwiązanie
Krok 1: Zapisujemy dane i wybieramy wzór. Mamy \( \displaystyle S_5 = 70 \), \( \displaystyle a_1 = 2 \) oraz \( \displaystyle n = 5 \). Najwygodniej będzie skorzystać z "pomocniczego" wzoru na sumę, który od razu zawiera literę \( \displaystyle r \):
\( \displaystyle S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n \)
Krok 2: Podstawiamy dane do wzoru:
\( \displaystyle 70 = \frac{2 \cdot 2 + (5 - 1) \cdot r}{2} \cdot 5 \)
\( \displaystyle 70 = \frac{4 + 4r}{2} \cdot 5 \)
Krok 3: Upraszczamy wyrażenie. Możemy podzielić licznik przez \( \displaystyle 2 \):
\( \displaystyle 70 = (2 + 2r) \cdot 5 \)
Krok 4: Rozwiązujemy równanie stopnia pierwszego:
\( \displaystyle 70 = 10 + 10r \)
\( \displaystyle 60 = 10r \,\, / : 10 \)
\( \displaystyle r = 6 \)
Odpowiedź
Różnica tego ciągu wynosi \( \displaystyle r = 6 \).
