CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 5
W ciągu arytmetycznym \( \displaystyle (a_n) \) dane są wyrazy:
\( \displaystyle a_4 = 6 \) oraz \( \displaystyle a_{12} = -10 \). Oblicz czterdziesty wyraz tego ciągu (\( \displaystyle a_{40} \)).
Rozwiązanie
Krok 1: Budujemy układ równań, korzystając ze wzoru na wyraz ogólny ciągu arytmetycznego:
\( \displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)r \)
Podstawiamy dane dla wyrazów \( \displaystyle a_4 \) oraz \( \displaystyle a_{13} \):
\( \displaystyle \begin{cases} a_1 + 3r = 6 \\ a_1 + 11r = -10 \end{cases} \)
Krok 2: Rozwiązujemy układ równań metodą przeciwnych współczynników, odejmując pierwsze równanie od drugiego:
\( \displaystyle (a_1 - a_1) + (11r - 3r) = -10 - 6 \)
\( \displaystyle 8r = -16 \,\, / : 8 \)
\( \displaystyle r = -2 \)
Krok 3: Wyznaczamy pierwszy wyraz \( \displaystyle a_1 \), podstawiając obliczoną różnicę \( \displaystyle r = -2 \) do pierwszego równania:
\( \displaystyle a_1 + 3 \cdot (-2) = 6 \)
\( \displaystyle a_1 - 6 = 6 \)
\( \displaystyle a_1 = 12 \)
Krok 4: Obliczamy wyraz \( \displaystyle a_{40} \), ponownie korzystając ze wzoru ogólnego dla \( \displaystyle n = 40 \):
\( \displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)r \)
\( \displaystyle a_{40} = 12 + (40 - 1) \cdot (-2) \)
\( \displaystyle a_{40} = 12 + 39 \cdot (-2) \)
\( \displaystyle a_{40} = 12 - 78 \)
\( \displaystyle a_{40} = -66 \)
Odpowiedź
Czterdziesty wyraz tego ciągu wynosi \( \displaystyle a_{40} = -66 \).
