CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA

Zadanie 6

W ciągu arytmetycznym \( \displaystyle (a_n) \) dane są: wyraz \( \displaystyle a_{25} = 49 \) oraz suma dwudziestu pięciu początkowych wyrazów \( \displaystyle S_{25} = 625 \).
Oblicz pierwszy wyraz \( \displaystyle a_1 \) oraz różnicę \( \displaystyle r \) tego ciągu.

Rozwiązanie

Krok 1: Wyznaczamy pierwszy wyraz \( \displaystyle a_1 \). W tym celu korzystamy ze wzoru na sumę \( \displaystyle n \) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego:

\( \displaystyle S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n \)

Podstawiamy dane dla \( \displaystyle n = 25 \), \( \displaystyle a_{25} = 49 \) oraz \( \displaystyle S_{25} = 625 \):

\( \displaystyle 625 = \frac{a_1 + 49}{2} \cdot 25 \,\, / \cdot 2 \)
\( \displaystyle 1250 = (a_1 + 49) \cdot 25 \,\, / : 25 \)
\( \displaystyle 50 = a_1 + 49 \)
\( \displaystyle a_1 = 1 \)

Krok 2: Wyznaczamy różnicę ciągu \( \displaystyle r \). Wykorzystujemy w tym celu wzór na \( \displaystyle n \)-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

\( \displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)r \)

Podstawiamy obliczone \( \displaystyle a_1 = 1 \) oraz dane \( \displaystyle a_{25} = 49 \) i \( \displaystyle n = 25 \):

\( \displaystyle 49 = 1 + (25 - 1) \cdot r \)
\( \displaystyle 49 = 1 + 24r \)
\( \displaystyle 48 = 24r \,\, / : 24 \)
\( \displaystyle r = 2 \)