CIĄG ARYTMETYCZNY - ZADANIA
Zadanie 7
W ciągu arytmetycznym \( \displaystyle (a_n) \) dane są: pierwszy wyraz \( \displaystyle a_1 = -14 \), różnica \( \displaystyle r = 2 \) oraz suma \( \displaystyle n \) początkowych wyrazów \( \displaystyle S_n = 54 \).
Oblicz liczbę wyrazów \( \displaystyle n \) oraz wyraz \( \displaystyle a_n \).
Rozwiązanie
Krok 1: Wyznaczamy liczbę wyrazów \( \displaystyle n \). Korzystamy ze wzoru na sumę \( \displaystyle n \) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego w wersji z różnicą \( \displaystyle r \):
\( \displaystyle S_n = \frac{2a_1 + (n - 1)r}{2} \cdot n \)
Podstawiamy dane: \( \displaystyle S_n = 54 \), \( \displaystyle a_1 = -14 \) oraz \( \displaystyle r = 2 \):
\( \displaystyle 54 = \frac{2 \cdot (-14) + (n - 1) \cdot 2}{2} \cdot n \)
\( \displaystyle 54 = \frac{-28 + 2n - 2}{2} \cdot n \)
\( \displaystyle 54 = \frac{2n - 30}{2} \cdot n \)
Skracamy licznik przez mianownik:
\( \displaystyle 54 = (n - 15) \cdot n \)
\( \displaystyle 54 = n^2 - 15n \)
\( \displaystyle n^2 - 15n - 54 = 0 \)
Krok 2: Rozwiązujemy równanie kwadratowe, aby znaleźć \( \displaystyle n \). Obliczamy wyróżnik (deltę) ze wzoru \( \displaystyle \Delta = b^2 - 4ac \):
\( \displaystyle \Delta = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 225 + 216 = 441 \)
\( \displaystyle \sqrt{\Delta} = 21 \)
Obliczamy pierwiastki równania ze wzoru \( \displaystyle n = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \):
\( \displaystyle n_1 = \frac{15 - 21}{2} = -3 \quad \) (odrzucamy, bo \( \displaystyle n \) musi być dodatnie)
\( \displaystyle n_2 = \frac{15 + 21}{2} = \frac{36}{2} = 18 \)
Zatem liczba wyrazów wynosi \( \displaystyle n = 18 \).
Krok 3: Obliczamy wyraz \( \displaystyle a_n \) (czyli w naszym przypadku \( \displaystyle a_{18} \)), korzystając ze wzoru na wyraz ogólny:
\( \displaystyle a_n = a_1 + (n - 1)r \)
Podstawiamy dane: \( \displaystyle a_1 = -14 \), \( \displaystyle n = 18 \) oraz \( \displaystyle r = 2 \):
\( \displaystyle a_{18} = -14 + (18 - 1) \cdot 2 \)
\( \displaystyle a_{18} = -14 + 17 \cdot 2 \)
\( \displaystyle a_{18} = -14 + 34 \)
\( \displaystyle a_{18} = 20 \)
Odpowiedź
Liczba wyrazów wynosi \( \displaystyle n = 18 \), a ostatni wyraz to \( \displaystyle a_{18} = 20 \).
