CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 4
Dany jest ciąg geometryczny o wzorze ogólnym \( a_n = 5 \cdot 3^{n-1} \).
Sprawdź, czy liczba \( 405 \) jest wyrazem tego ciągu. Jeśli tak, to którym?
Rozwiązanie
Aby sprawdzić, czy liczba 405 należy do ciągu, musimy przyrównać ją do wzoru ogólnego i sprawdzić, czy otrzymane \( n \) jest liczbą naturalną dodatnią.Równanie: \( 405 = 5 \cdot 3^{n-1} \)
Dzielimy obie strony równania przez 5:
\( 405 : 5 = 3^{n-1} \)
\( 81 = 3^{n-1} \)
\( 405 : 5 = 3^{n-1} \)
\( 81 = 3^{n-1} \)
Stosujemy własność działań na potęgach: \( 3^{n-1} = \frac{3^n}{3^1} \)
\( 81 = \frac{3^n}{3} \)
\( 81 = \frac{3^n}{3} \)
Mnożymy obie strony równania przez 3, aby pozbyć się ułamka:
\( 81 \cdot 3 = 3^n \)
\( 243 = 3^n \) \(243= 3^5 \), więć
\( 3^5 = 3^n \)
\( 81 \cdot 3 = 3^n \)
\( 243 = 3^n \) \(243= 3^5 \), więć
\( 3^5 = 3^n \)
Skoro podstawy są takie same, przyrównujemy wykładniki:
\( n = 5 \)
\( n = 5 \)
Odpowiedź
Liczba 405 jest wyrazem tego ciągu. Jest to piąty wyraz (\( a_5 \)), ponieważ \( n = 5 \) jest liczbą naturalną dodatnią.