CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 5
W ciągu geometrycznym \( (a_n) \) dane są wyrazy: \( a_3 = 9 \) oraz \( a_6 = \frac{1}{3} \).
Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \) oraz wzór ogólny tego ciągu.
Rozwiązanie
Zapisujemy układ równań, korzystając ze wzoru ogólnego \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \):\( \begin{cases} a_3 = a_1 \cdot q^{3-1} \\ a_6 = a_1 \cdot q^{6-1} \end{cases} \implies \begin{cases} 9 = a_1 \cdot q^2 \\ \frac{1}{3} = a_1 \cdot q^5 \end{cases} \)
Dzielimy równania stronami (równanie drugie przez pierwsze), aby wyeliminować \( a_1 \):
\( \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = \frac{\frac{1}{3}}{9} \)
\( q^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} \)
\( q^3 = \frac{1}{27} \implies q = \frac{1}{3} \)
\( \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^2} = \frac{\frac{1}{3}}{9} \)
\( q^3 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{9} \)
\( q^3 = \frac{1}{27} \implies q = \frac{1}{3} \)
Podstawiamy wyznaczone \( q \) do pierwszego równania (\( 9 = a_1 \cdot q^2 \)):
\( 9 = a_1 \cdot (\frac{1}{3})^2 \)
\( 9 = a_1 \cdot \frac{1}{9} \quad / \cdot 9 \)
\( a_1 = 81 \)
\( 9 = a_1 \cdot (\frac{1}{3})^2 \)
\( 9 = a_1 \cdot \frac{1}{9} \quad / \cdot 9 \)
\( a_1 = 81 \)
Zapisujemy wzór ogólny \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \):
\( a_n = 81 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} \)
\( a_n = 81 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} \)
Odpowiedź
Pierwszy wyraz ciągu to 81, a wzór ogólny ma postać \( a_n = 81 \cdot (\frac{1}{3})^{n-1} \).