CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 6
W ciągu geometrycznym \( (a_n) \) iloraz wynosi \( q = \sqrt{2} \), a suma czterech początkowych wyrazów wynosi \( S_4 = 15(\sqrt{2} + 1) \). Oblicz pierwszy wyraz \( a_1 \).
Rozwiązanie
Zapisujemy wzór na sumę \( S_n \) i podstawiamy znane dane (\( n=4, q=\sqrt{2} \)):\( S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - (\sqrt{2})^4}{1 - \sqrt{2}} \)
Obliczamy wartość potęgi \( (\sqrt{2})^4 \):
\( (\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4 \)
Zatem: \( S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - 4}{1 - \sqrt{2}} = a_1 \cdot \frac{-3}{1 - \sqrt{2}} \)
\( (\sqrt{2})^4 = ((\sqrt{2})^2)^2 = 2^2 = 4 \)
Zatem: \( S_4 = a_1 \cdot \frac{1 - 4}{1 - \sqrt{2}} = a_1 \cdot \frac{-3}{1 - \sqrt{2}} \)
Przyrównujemy otrzymane wyrażenie do wartości sumy podanej w zadaniu:
\( 15(\sqrt{2} + 1) = a_1 \cdot \frac{-3}{1 - \sqrt{2}} \)
\( 15(\sqrt{2} + 1) = a_1 \cdot \frac{-3}{1 - \sqrt{2}} \)
Mnożymy obie strony przez mianownik \( (1 - \sqrt{2}) \), aby wyznaczyć \( a_1 \):
\( 15(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = -3a_1 \)
\( 15(\sqrt{2} + 1)(1 - \sqrt{2}) = -3a_1 \)
Zauważamy wzór skróconego mnożenia \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \) po lewej stronie (tylko w innej kolejności):
\( 15(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 15(1 - 2) = -15 \)
\( 15(1 + \sqrt{2})(1 - \sqrt{2}) = 15(1 - 2) = -15 \)
Otrzymujemy proste równanie:
\( -15 = -3a_1 \implies a_1 = 5 \)
\( -15 = -3a_1 \implies a_1 = 5 \)
Odpowiedź
Pierwszy wyraz tego ciągu (\( a_1 \)) wynosi 5.