CIĄG GEOMETRYCZNY - ZADANIA
Zadanie 7
Trzy liczby \( x-2, \ 6, \ 12 \) tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.
Oblicz wartość \( x \) oraz wyznacz iloraz \( q \) tego ciągu.
Rozwiązanie
Dla trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego \( (a, b, c) \) zachodzi zależność:\( b^2 = a \cdot c \)
W naszym przypadku: \( a = x-2 \), \( b = 6 \), \( c = 12 \).
Podstawiamy dane do wzoru i rozwiązujemy równanie:
\( 6^2 = (x - 2) \cdot 12 \)
\( 36 = 12x - 24 \)
\( 36+24 = 12x \)
\( 60 = 12x \)
\( x = 5 \)
\( 6^2 = (x - 2) \cdot 12 \)
\( 36 = 12x - 24 \)
\( 36+24 = 12x \)
\( 60 = 12x \)
\( x = 5 \)
Wyznaczamy iloraz \( q \) ze wzoru \(p=\frac{a_2}{a_1}\):
\( a_1 = x - 2 = 5 - 2 = 3 \)
\( a_2 = 6 \)
\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3} = 2 \)
\( a_1 = x - 2 = 5 - 2 = 3 \)
\( a_2 = 6 \)
\( q = \frac{a_2}{a_1} = \frac{6}{3} = 2 \)
Wyznaczamy wzór ogólny ciągu \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \):
Pierwszy wyraz: \( a_1 = 3 \)
Iloraz: \( q = 2 \)
Wzór ogólny \( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \)
Pierwszy wyraz: \( a_1 = 3 \)
Iloraz: \( q = 2 \)
Wzór ogólny \( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \)
Odpowiedź
Wartość \( x \) wynosi 5, iloraz ciągu \( q = 2 \), a wzór ogólny to \( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \).