NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE - ZADANIA

Zadanie 4

Rozwiąż nierówności kwadratowe: \(-x^2+4 \geq 0\); \(-x^2+4 \leq 0\)

Rozwiązanie 1

\(-x^2+4 \geq 0\)
Szukamy miejsc zerowych funkcji kwadratowej:

\(-x^2+4=0\)
\(-x^2=-4 \quad / \cdot (-1)\)
\(x^2=4\)
\( x=2 \quad \text{lub} \quad x=-2\)

Rysujemy funkcję kwadratową.
Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a=-1\). Jest ujemny, zatem ramiona paraboli skierowane są w dół. Zaznaczamy miejsca zerowe \(-2\) oraz \(2\).

Wykres paraboli -x^2+4 z ramionami w dół i miejscami zerowymi -2, 2

Patrzymy na znak nierówności \((\geq)\).
Interesują nas te \(x\) (argumenty), dla których wykres leży nad osią \(OX\) lub na niej.
Z wykresu widzimy, że funkcja przyjmuje wartości nieujemne w środkowym przedziale. Ponieważ nierówność jest nieostra, przedział będzie domknięty.

Odpowiedź

\(x \in \langle -2, 2 \rangle\)

Rozwiązanie 2

\(-x^2+4 \leq 0\)
Wykres i miejsca zerowe są identyczne.
Tym razem szukamy jednak argumentów, dla których wykres leży pod osią \(OX\) lub na niej (wartości mniejsze lub równe zero).

Są to dwa zewnętrzne przedziały („wąsy” paraboli skierowane w dół), domknięte przy miejscach zerowych.

Odpowiedź

\(x \in (-\infty, -2 \rangle \cup \langle 2, \infty)\)