NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE - ZADANIA
Zadanie 5
Rozwiąż nierówności kwadratowe: \(x^2+4 > 0\) oraz \(x^2+4 \lt 0\)
Analiza funkcji
Najpierw próbujemy znaleźć miejsca zerowe funkcji \(f(x) = x^2+4\):
\(x^2+4=0\)
\(x^2=-4\)
Wiemy, że kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest zawsze nieujemny.
Zatem równanie \(x^2=-4\) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych.
Brak miejsc zerowych oznacza, że wykres funkcji nie przecina osi \(OX\).
Współczynnik przy \(x^2\) wynosi \(a=1\), czyli jest dodatni. Ramiona paraboli skierowane są w górę.
Skoro nie ma miejsc zerowych i ramiona idą w górę, cała parabola musi znajdować się nad osią \(OX\).
Przykład 1
\(x^2+4 > 0\)
Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od zera.
Patrząc na wykres, widzimy, że cała parabola znajduje się nad osią \(OX\).
Oznacza to, że każda liczba rzeczywista spełnia tę nierówność.
Odpowiedź
\(x \in \mathbb{R}\) (wszystkie liczby rzeczywiste)
Przykład 2
\(x^2+4 \lt 0\)
Szukamy argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości ujemne (leży pod osią \(OX\)).
Ponieważ cała nasza parabola "wisi" nad osią, żaden jej punkt nie znajduje się poniżej osi \(OX\).
Odpowiedź
\(x \in \emptyset\) (brak rozwiązań / zbiór pusty / niewórność sprzeczna)
PAMIĘTAJ!
Jeśli \(\Delta \lt 0\), to rozwiązaniem nierówności może być tylko zbiór pusty albo wszystkie liczby rzeczywiste.
