NIERÓWNOŚCI KWADRATOWE - ZADANIA

Zadanie 9

Rozwiąż nierówność kwadratową: \(x^2 - 5x + 4 > 0\)

Rozwiązanie

Wypisujemy współczynniki i obliczamy deltę:
\(a = 1, \quad b = -5, \quad c = 4\)

\(\Delta = b^2 - 4ac\)
\(\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9\)
\(\sqrt{\Delta} = 3\)

Obliczamy miejsca zerowe:
\(x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
\(x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

Rysujemy szkic wykresu. Współczynnik \(a=1\) jest dodatni, więc ramiona paraboli skierowane są w górę.
Zaznaczamy miejsca zerowe \(1\) oraz \(4\).

Wykres paraboli x^2-5x+4 z ramionami w górę, miejsca zerowe 1 i 4

Szukamy wartości większych od zera \((> 0)\), czyli interesują nas te przedziały, w których wykres znajduje się nad osią OX.
Nierówność jest ostra, więc przedziały będą otwarte.

Odpowiedź

\(x \in (-\infty, 1) \cup (4, \infty)\)