POSTAĆ OGÓLNA , ILOCZYNOWA i KANONICZNA - ZADANIA
Zadanie 8
Przekształć wzór funkcji kanonicznej \(f(x)=(x-2)^2-9\) na postać:
a) ogólną,
b) iloczynową.
Rozwiązanie a)
\(f(x)=(x-2)^2-9\)
Podnosimy wyrażenie w nawiasie do potęgi, możemy skorzystać ze wzoru skróconego mnożenia \((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)
\(f(x)=(x^2-4x+4)-9\)
Upraszczamy wyrażenie.
\(f(x)=x^2-4x-5\)
I otrzymujemy postać ogólną funkcji kwadratowej.
Odpowiedź
Postać ogólna funkcji \(f(x)=(x-2)^2-9\) określona jest wzorem: \(f(x)=x^2-4x-5\)
Rozwiązanie b)
\(f(x)=x^2-4x-5\)
Do wyznaczenia funkcji iloczynowej korzystamy z wyprowadzonej już funkcji ogólnej
\(a=1\,\,\,b=-4\,\,\,c=-5\)
Wypisujemy współczynniki naszej funkcji ogólnej.
\(\Delta=(-4)^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36\)
Obliczamy deltę \(\Delta=b^2-4ac\)
Delta jest większa od zera, zatem postać iloczynowa naszej funkcji określona jest wzorem \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) musimy obliczyć \(x_1\) oraz \(x_2\)
\(\sqrt{\Delta}=\sqrt{36}=6\)
Obliczamy pierwiastek z delty
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-4)-6}{2\cdot1}=\frac{4-6}{2}=\frac{-2}2=-1\)
Obliczamy \(x_1\) korzystając ze wzoru: \(x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\)
\(\displaystyle x_1=\frac{-(-4)+6}{2\cdot1}=\frac{4+6}{2}=\frac{10}2=5\)
Obliczamy \(x_2\) korzystając ze wzoru: \(x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
Obliczone wartości \(x_1=-1\) , \(x_2=5\) podstawiamy do wzoru \(f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)\) przy czym \(a=1\)
\(f(x)=1\cdot(x-(-1))(x-5)=(x+1)(x-5)\)
Odpowiedź
Postać iloczynowa funkcji \(f(x)=(x-2)^2-9\) określona jest wzorem: \(f(x)=(x+1)(x-5)\)
