KOMBINACJE - ZADANIA
Zadanie 2
W klasie liczącej 20 uczniów jest 8 uczennic. Na uroczystość należy wybrać 5 osobową delegację,
składającą się z 3 dziewczyn i 2 chłopców. Ile jest możliwości wyboru takiej delegacji?
Rozwiązanie
Najpierw ze zbioru 8 dziewcząt wybieramy 3 dziewczyny \(C_{8}^3\) a następnie spośród 12 chłopców wybieramy 2 chłopaków \(C_{12}^2\) Ponieważ każdy zbiór dziewczyn jest połączony ze zbiorem chłopców zatem musimy te wartości pomnożyć.
\(C_{8}^3 \cdot C_{12}^2\)
Korzystamy ze wzoru na kombinację
\(\displaystyle C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
\(\displaystyle C_n^k=\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\)
Podstawiamy dane:
\(\displaystyle C_{8}^3\cdot C_{12}^2=\binom{8}{3}\cdot\binom{12}{2}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}\cdot \frac{12!}{2!\cdot 10!}=\)
\(\displaystyle C_{8}^3\cdot C_{12}^2=\binom{8}{3}\cdot\binom{12}{2}=\frac{8!}{3!\cdot 5!}\cdot \frac{12!}{2!\cdot 10!}=\)
Obliczamy wartości:
\(\displaystyle \frac{\not5!\cdot6\cdot7\cdot8}{\not5!\cdot2\cdot3}\cdot \frac{\not10!\cdot11\cdot12}{\not10!\cdot2}=3696\)
\(\displaystyle \frac{\not5!\cdot6\cdot7\cdot8}{\not5!\cdot2\cdot3}\cdot \frac{\not10!\cdot11\cdot12}{\not10!\cdot2}=3696\)
Zauważmy, że nie jest istotna kolejność w jakiej wybieramy osoby do delegacji oraz,
że osoba może zostać wybrana do delegacji tylko raz.
Odpowiedź
Jest 3696 możliwości wyboru delegacji.