KOMBINACJE - ZADANIA
Zadanie 5
W klasie liczącej 20 uczniów jest 8 uczennic. Na uroczystość należy wybrać 5 osobową delegację,
składającą się co najmniej z dwóch dziewcząt. Ile jest możliwości wyboru takiej delegacji jeżeli?
Rozwiązanie sposób 1
Co najmniej dwie dziewczyny oznacza to, że mogą być 2 dziewczyny i 3 chłopaków lub 3 dziewczyny i 2 chłopaków
lub 4 dziewczyny i 1 chłopak lub 5 dziewczyny i 0 chłopaków. Mamy cztery zdarzenia
\(\displaystyle C_{8}^2 \cdot C_{12}^3+C_{8}^3 \cdot C_{12}^2+
C_{8}^4 \cdot C_{12}^1+C_{8}^5 \cdot C_{12}^0\) =
\(\binom{8}{2}\cdot\binom{12}{3}+\binom{8}{3}\cdot\binom{12}{2}+\binom{8}{4}\cdot\binom{12}{1}+\binom{8}{5}\cdot\binom{12}{0}=\)
\(\displaystyle28\cdot220+56\cdot66+70\cdot12+56\cdot1=10752\)
Rozwiązanie sposób 2
Jeśli w zdaniach pojawia się zwrot co najmniej lub co najwyżej warto sprawdzić czy nie będzie prościej policzyć zdarzenia przeciwne . Wówczas aby obliczyć zdarzenia sprzyjające musimy od wszystkich zdarzeń możliwych odjąć zdarzenia przeciwne.
Metoda ta jest szczególnie przydatna gdy liczba przypadków sprzyjających jest duża.
Wszystkie zdarzenia możliwe obliczyliśmy już w zadaniu 1, są to wszystkie możliwe 5-io osobowe delegacje z 20 uczniów.
\(\displaystyle C_{20}^5 =\binom{20}{5}=\frac{20!}{5!\cdot(20-15)!}=15504\)
\(\displaystyle C_{20}^5 =\binom{20}{5}=\frac{20!}{5!\cdot(20-15)!}=15504\)
Obliczamy zdarzeni przeciwne. W naszym przypadku zdarzenie przeciwne to w delegacji jest 1 dziewczyna i 4 chłopaków
lub 0 dziewczyn i 5 chłopaków
\(\displaystyle C_{8}^1\cdot C_{12}^4+C_{8}^0\cdot C_{12}^5 =\binom{8}{1}\cdot\binom{12}{4}+\binom{8}{0}\cdot\binom{12}{5}=3960+792=4752\)
\(\displaystyle C_{8}^1\cdot C_{12}^4+C_{8}^0\cdot C_{12}^5 =\binom{8}{1}\cdot\binom{12}{4}+\binom{8}{0}\cdot\binom{12}{5}=3960+792=4752\)
Na końcu obliczamy zdarzenia sprzyjające
\(\displaystyle C_{20}^5-( C_{8}^1\cdot C_{12}^4+C_{8}^0\cdot C_{12}^5) =15504-4752=10752\)
Uwaga Wynik obliczony w sposób 2 (zdarzenie przeciwne) jest identyczny z wynikiem sposobu 1, co stanowi dodatkową weryfikację poprawności obliczeń
\(\displaystyle C_{20}^5-( C_{8}^1\cdot C_{12}^4+C_{8}^0\cdot C_{12}^5) =15504-4752=10752\)
Uwaga Wynik obliczony w sposób 2 (zdarzenie przeciwne) jest identyczny z wynikiem sposobu 1, co stanowi dodatkową weryfikację poprawności obliczeń
Odpowiedź
Jest 10752 możliwości wyboru delegacji.
Uwaga Wynik obliczony w sposób 2 (zdarzenie przeciwne) jest identyczny z wynikiem sposobu 1, co stanowi dodatkową weryfikację poprawności obliczeń.