KOMBINACJE - ZADANIA

Zadanie 6

Na ile sposobów można podzielić 8 osób na dwie równoliczne grupy, jeżeli:
a) grupy są rozróżnialne (mają np. swoje nazwy lub przypisane zadania),
b) grupy są nierozróżnialne (liczy się tylko skład grup).

Rozwiązanie a) Grupy rozróżnialne

Zakładamy, że grupy są rozróżnialne, np. Grupa A i Grupa B. Każda z nich musi liczyć 4 osoby.

Zatem wybieramy 4 osoby z 8 do pierwszej grupy (Grupa A) lub mówiąc matematycznie wybieramy 4 elementowy podzbiór ze zbioru 8 elementowego, czyli kombinacja \(C_{8}^4\). Pozostałe 4 osoby automatycznie tworzą drugą grupę (Grupę B), co matematycznie zapisujemy jako \(C_4^4\).

\(\displaystyle |A|= C_{8}^4\cdot C_{4}^4\ =\binom{8}{4}\cdot\binom{4}{4}= \frac{8!}{4!\cdot4!}\cdot \frac{\not4!}{\not4!\cdot0!}=\) \(\displaystyle\frac{\not4!\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8}{\not4!\cdot2\cdot3\cdot4}\cdot1=70\)

Rozwiązanie b) Grupy nierozróżnialne

Jeżeli grupy są nierozróżnialne, wówczas jak do pierwszej grupy wybierzemy osoby o numerach np. \(\{1, 2, 3, 4\}\) to w drugiej grupie będziemy mieli osoby \(\{5, 6, 7, 8\}\) Tworząc wszystkie podzbiory, utworzymy też w pierwszej grupie zbiór osób o numerach \(\{5, 6, 7, 8\}\) co automatycznie utworzy grupę druga o numerach \(\{1, 2, 3, 4\}\) a taki podział osób na grupy już był.

Takich dublujących grup będzie się równać permutacji ilości utworzonych grup.
Aby skorygować wynik, musimy podzielić go przez liczbę permutacji tych grup, czyli przez \(P_2 = 2!\)

\(\displaystyle |B| = \frac {C_{8}^4\cdot C_{4}^4}{P_2}\ =\frac{\binom{8}{4}\cdot\binom{4}{4}}{2!}= \frac{70}{2}=35\)

Wskazówka

Jeśli dzielisz zbiór na \(k\) grup o tej samej liczności i grupy te nie są rozróżnialne, wynik zawsze dzielimy przez \(k!\).
Gdybyśmy w tym zadaniu dzielili 12 osób na 3 grupy po 4 osoby (nierozróżnialne), dzielilibyśmy przez \(3! = 6\).

Odpowiedź

W przypadku grup rozróżnialnych mamy 70 sposobów, a w przypadku grup nierozróżnialnych – 35 sposobów.