KOMBINACJE - ZADANIA
Zadanie 7
Na ile sposobów można podzielić 9 osób na trzy równoliczne grupy jeżeli :a) grupy są rozróżnialne
b) grupy są nierozróżnialne
Rozwiązanie a)
Grupy są rozróżnialne zatem oznaczmy je, np. grupa A, grupa B i grupa C. Nasze grupy muszą liczyć po 3 osoby.
Wybieramy 3 osoby z 9 do grupy A następnie 3 osoby z 6 do grupy B i na końcu pozostałe 3 osoby trafiają do grupy C
Zatem podziału grup możemy dokonać na
\(\displaystyle C_{9}^3\cdot C_{6}^3\cdot C_{3}^3=\binom{9}{3}\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{3}=\) \(\displaystyle\frac{9!}{3!\cdot 6!}\cdot \frac{6!}{3!\cdot3!}\cdot \frac{\not3!}{\not3!\cdot 0!}=84\cdot 20\cdot 1=1680\)
Rozwiązanie b)
Jeżeli grupy są nierozróżnialne, wówczas wynik powyższy trzeba podzielić przez permutację ilości
grup w naszym przypadku mamy 3 grupy \(P_3\)
Jest tak dlatego, że w powyższym zadaniu grupy można poustawiać na \(P_3\) sposoby: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA
a w tym zadaniu nie rozróżniamy ich, te wszystkie rozstawienia grup są dla nas teraz identyczne.
\(\displaystyle \frac {C_{9}^3\cdot C_{6}^3\ C_{3}^3}{P_3}\ =\frac{\binom{9}{3}\cdot\binom{6}{3}\cdot\binom{3}{3}}{3!}=
\frac{1680}{6}=280\)
Odpowiedź
W przykładzie A mamy 1680 możliwości podziału grupy a w przykładzie B tych możliwości jest 280