PERMUTACJE - ZADANIA
Zadanie 4
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety oraz 4 mężczyzn, tak aby żadna kobieta nie stała obok innej.
Rozwiązanie
Najpierw ustawiamy mężczyzn w kolejce. Możemy to zrobić w \(P_4\) sposobów:
\(P_4 = 4! = 1\cdot2\cdot3\cdot4 = 24\)
Po ustawieniu mężczyzn mamy \(5\) możliwych pozycji, w które można wstawić kobiety (przed pierwszym mężczyzną, między nimi oraz za ostatnim mężczyzną):
\(\_\ M \_\ M \_\ M \_\ M \_\).
Musimy wybrać \(3\) z tych \(5\) pozycji dla kobiet. Możemy to zrobić w sposób:
\(\displaystyle\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10\)
\(\_\ M \_\ M \_\ M \_\ M \_\).
Musimy wybrać \(3\) z tych \(5\) pozycji dla kobiet. Możemy to zrobić w sposób:
\(\displaystyle\binom{5}{3} = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = 10\)
Następnie ustawiamy kobiety na wybranych pozycjach. Możemy to zrobić w \(P_3\) sposobach:
\(P_3 = 3! = 1\cdot2\cdot3 = 6\)
\(P_3 = 3! = 1\cdot2\cdot3 = 6\)
Łączna liczba sposobów ustawienia kolejki to iloczyn wszystkich możliwości:
\(P_4 \cdot \binom{5}{3} \cdot P_3 = 24 \cdot 10 \cdot 6 = 1440\)
\(P_4 \cdot \binom{5}{3} \cdot P_3 = 24 \cdot 10 \cdot 6 = 1440\)
Odpowiedź
Można ustawić kolejkę na \(1440\) sposobów tak, aby żadna kobieta nie stała obok innej.