Definicja (Permutacje)
Permutacją zbioru \(n\) - elementowego nazywamy każdy \(n\) - wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru.
PERMUTACJE
Twierdzenie (Liczba permutacji)
Liczba wszystkich możliwych permutacji bez powtórzeń zbioru \(n\) - elementowego jest równa:
\[\large P_n=n!\] gdzie: \(n\in \mathbb{N}^+\)\(n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot \,\cdots \, \cdot n\)
Przykład 1
Niech dany będzie zbiór : \(A=\{a, b\}\)
Utwórzmy wszystkie ciągi ze zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest dwuelementowy, czyli : \(n=2\)
Zgodnie ze wzorem liczba permutacji wynosi \(P_n=n!\) czyli : \(P_2 =2!=1\cdot2=2\)
Możemy utworzyć dwa ciągi : \[(a, b)\ (b, a)\]
Przykład 2
Niech dany będzie zbiór : \(A=\{a, b, c\}\)
Utwórzmy wszystkie ciągi ze zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest trzyelementowy, czyli : \(n=3\)
Zgodnie ze wzorem liczba permutacji wynosi \(P_n=n!\) czyli : \(P_3 =3!=1\cdot2\cdot3=6\)
Mamy 6 ciagów:
\[(a, b, c)\ (a, c, b)\ (b, a, c)\] \[(b, c, a)\ (c, a, b)\ (c, b, a)\]Przykład 3
Niech dany będzie zbiór : \(A=\{a, b, c, d\}\)
Utwórzmy wszystkie ciągi ze zbioru \(A\)
Nasz zbiór jest czteroelementowy ,czyli : \(n=4\)
Zgodnie ze wzorem liczba permutacji wynosi \(P_n=n!\) czyli : \(P_4 =4!=1\cdot2\cdot3\cdot4=24\)
W tym przykładzie możemy już utworzyć 24 różne ciągi:
\[(a,b,c,d),(a,b,d,c),(a,c,b,d)\] \[(a,c,d,b),(a,d,b,c),(a,d,c,b)\] \[(b,a,c,d),(b,a,d,c),(b,c,a,d)\] \[(b,c,d,a),(b,d,a,c),(b,d,c,a)\] \[(c,a,b,d),(c,a,d,b),(c,b,a,d)\] \[(c,b,d,a),(c,d,a,b),(c,d,b,a)\] \[(d,a,b,c),(d,a,c,b),(d,b,a,c)\] \[(d,b,c,a),(d,c,a,b),(d,c,b,a)\]Jak widać, liczba permutacji szybko rośnie wraz ze wzrostem liczby elementów \(n\)
Cechy permutacji
- W permutacji występują wszystkie elementy danego zbioru.
- Istotna jest kolejność występowania elementów.
PERMUTACJE - ZADANIA
Zadanie 2
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety oraz 4 mężczyzn, tak aby kobiety stały na początku kolejki. Zadanie 3
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety oraz 4 mężczyzn, tak aby wszystkie kobiety stały na początku lub na końcu kolejki. Zadanie 4
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety oraz 4 mężczyzn, tak aby żadna kobieta nie stała obok innej. Zadanie 5
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety i 4 mężczyzn, jeśli wszystkie kobiety muszą stać obok siebie jako jedna "grupa"? Zadanie 6
Na ile sposobów można ustawić w kolejce 3 kobiety i 4 mężczyzn, jeśli jedna z kobiet musi stać na pierwszym miejscu, a reszta może być ustawiona dowolnie? Zadanie 7
Na ile sposobów można usadzić 4 osoby (Ania, Bartek, Czarek, Darek) przy okrągłym stole?
Przyjmujemy, że dwa ustawienia są identyczne, jeśli w obu każdy ma tych samych sąsiadów.