SILNIA - ZADANIA
Zadanie 4
Oblicz : a) \(\displaystyle \frac{(n+1)!}{n!}\) b) \(\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!}\) c) \(\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n-2)!}\) Rozwiązanie a)
\(\displaystyle \frac{(n+1)!}{n!}\)
\((n+1)!=\underset{\color{red}{n!}}{\color{red}{\underbrace {1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n}}}
\cdot (n+1)=\color{red}{n!}\cdot (n+1)\)
np. dla \(n=5\) mamy :
\((5+1)!=\underset{\color{red}{5!}}{\color{red}{\underbrace {1\cdot 2\cdot \cdots \cdot 5}}}\cdot
(5+1)=\color{red}{5!}\cdot (5+1)=\color{red}{5!}\cdot 6=6!\)
\(\displaystyle \frac{(n+1)!}{n!}=\frac{n\not!\cdot (n+1)}{n\not !}=(n+1)\)
Rozwiązanie b)
\(\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!}\)
\(n!=\underset{\color{red}{(n-1)!}}{\color{red}{\underbrace {1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (n-1)}}}\cdot n=\color{red}{(n-1)!}\cdot n\)
np. dla \(n=5\) mamy :
\(5!=\underset{\color{red}{(5-1)!}}{\color{red}{\underbrace {1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (5-1)}}}\cdot 5=\color{red}{(5-1)!}\cdot 5=\color{red}{4!}\cdot 5= 5!\)
\(\displaystyle \frac{(n-1)!}{n!}=\frac{(n-1)!}{(n-1)!\cdot n}=\frac 1n\)
Rozwiązanie c)
\(\displaystyle \frac{(n+2)!}{(n-2)!}=\)
Wyrażenie w liczniku zapisujemy w postaci
\((n+2)!=\underset{\color{red}{n!}}{\color{red}{\underbrace {1\cdot 2\cdot \cdots \cdot n}}}\cdot
(n+1)\cdot (n+2)=\color{red}{n!}\cdot (n+1)\cdot(n+2)\)
\(\displaystyle \frac{n!\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{(n-2)!}=\)
\(n!\) występujące w liczniku zapisujemy w postaci
\(n!=\underset{\color{red}{(n-2)!}}{\color{red}{\underbrace {1\cdot 2\cdot \cdots \cdot (n-2)}}}\cdot (n-1)\cdot n=\color{red}{(n-2)!}\cdot (n-1)\cdot n\)
\(\displaystyle \frac{(n-2)!\cdot (n-1)\cdot n\cdot (n+1)\cdot (n+2)}{(n-2)!}=\)
Skracamy wyrażenia \((n-2)!\) oraz korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \((n-1)\cdot (n+1)=(n^2-1)\)
\(n\cdot (n^2-1)\cdot (n+2)\)
Wyrażenie można jeszcze wymnożyć lub pozostawić w tej formie