RÓŻNE ZADANIA - KOMBINATORYKA
Zadanie 3
W dziesięciopiętrowym budynku 6 pasażerów wysiada z windy dwójkami (parami), każda para na innym piętrze. Na ile sposobów może się to stać?
Metoda I: Wybór pięter i sukcesywne przydzielanie osób
W tej metodzie najpierw ograniczamy przestrzeń pięter, a potem wypełniamy je ludźmi w sposób uporządkowany.
1. Wybór 3 pięter z 10:
Wybieramy podzbiór 3 pięter, na których w ogóle zatrzyma się winda. Ponieważ na tym etapie tylko wskazujemy piętra, zastosujemy kombinacje \( C_{10}^3 \):
\( C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120 \)
Wybieramy podzbiór 3 pięter, na których w ogóle zatrzyma się winda. Ponieważ na tym etapie tylko wskazujemy piętra, zastosujemy kombinacje \( C_{10}^3 \):
\( C_{10}^3 = \binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 120 \)
2. Rozmieszczenie osób na wybranych piętrach:
Wybrane piętra możemy ustawić w kolejności (np. od najniższego do najwyższego). To porządkuje nam proces wyboru osób:
Na najniższe piętro wybieramy 2 osoby z 6
\( C_6^2 = \binom{6}{2} = 15 \)
Na środkowe piętro wybieramy 2 osoby z pozostałych 4
\( C_4^2 = \binom{4}{2} = 6 \)
Na najwyższe piętro wybieramy ostatnie 2 osoby
\( C_2^2 = \binom{2}{2} = 1 \)
Wybrane piętra możemy ustawić w kolejności (np. od najniższego do najwyższego). To porządkuje nam proces wyboru osób:
Na najniższe piętro wybieramy 2 osoby z 6
\( C_6^2 = \binom{6}{2} = 15 \)
Na środkowe piętro wybieramy 2 osoby z pozostałych 4
\( C_4^2 = \binom{4}{2} = 6 \)
Na najwyższe piętro wybieramy ostatnie 2 osoby
\( C_2^2 = \binom{2}{2} = 1 \)
3. Obliczenie wyniku:
Korzystając z reguły mnożenia:
\( 120 \cdot (15 \cdot 6 \cdot 1) = 120 \cdot 90 = \mathbf{10\,800} \)
Korzystając z reguły mnożenia:
\( 120 \cdot (15 \cdot 6 \cdot 1) = 120 \cdot 90 = \mathbf{10\,800} \)
Metoda II: Podział na nienumerowane grupy i wariacje
W tej metodzie najpierw tworzymy "paczki" ludzi, a potem dopasowujemy je do pięter.
1. Podział 6 osób na trzy nienumerowane pary:
Gdybyśmy tylko mnożyli kombinacje \( C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2 \), każda grupa par byłaby liczona wielokrotnie (w różnej kolejności powstania). Ponieważ pary są równoliczne (każda ma 2 osoby) i na razie nie mają przypisanych pięter, musimy podzielić wynik przez \( 3! \):
\( \displaystyle \frac{C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2}{3!} = \frac{15 \cdot 6 \cdot 1}{6} = 15 \)
Gdybyśmy tylko mnożyli kombinacje \( C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2 \), każda grupa par byłaby liczona wielokrotnie (w różnej kolejności powstania). Ponieważ pary są równoliczne (każda ma 2 osoby) i na razie nie mają przypisanych pięter, musimy podzielić wynik przez \( 3! \):
\( \displaystyle \frac{C_6^2 \cdot C_4^2 \cdot C_2^2}{3!} = \frac{15 \cdot 6 \cdot 1}{6} = 15 \)
2. Przypisanie par do pięter:
Mamy 15 możliwych zestawów trzech par. Każdy taki zestaw musimy rozmieścić na 3 różnych piętrach z 10. Ponieważ każde piętro jest inne, zastosujemy wariacje bez powtórzeń:
\( V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \)
Mamy 15 możliwych zestawów trzech par. Każdy taki zestaw musimy rozmieścić na 3 różnych piętrach z 10. Ponieważ każde piętro jest inne, zastosujemy wariacje bez powtórzeń:
\( V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \)
3. Obliczenie wyniku:
\( 15 \cdot 720 = \mathbf{10\,800} \)
\( 15 \cdot 720 = \mathbf{10\,800} \)
Dlaczego oba wyniki są takie same?
W Sposobie I porządek został wprowadzony przez kolejność pięter (najniższe, środkowe, najwyższe). W Sposobie II najpierw całkowicie zignorowaliśmy porządek (dzieląc przez \( 3! \)), a potem wprowadziliśmy go poprzez wariacje.
To dwa poprawne spojrzenia na ten sam problem!
Odpowiedź
Sześciu pasażerów może wysiąść parami na 10 800 sposobów.